“定积分存在的条件”问题情境教学设计——从Riemann函数看Riemann积分

（湖南城市学院理学院 湖南益阳 413000）

一、内容分析

定积分是理解《数学分析》积分理论的基石，教材[1]先阐述了达布和的定义和性质，在此基础上证明了定积分存在的第一和第二充要条件。我在教学中利用定积分存在的两个充要条件归纳总结了Riemann函数的一些性质，在此基础上精心创设具有探究性、开放性的问题情境，让学生产生必要的认知冲突，有效调动学生积极思维，主动参与认知的发现过程，引导学生不断提出问题，澄清了一些错误理解，证明了R可积函数类的一些深刻性质，为学生学习广义积分、重积分、复积分和实分析打下了基础。

二、教学设计

1．利用复习环节作好铺垫。

从宏观上分析定积分存在的第一和第二充要条件的内在联系，阐述第一充要条件与第二充要条件的应用方法，为Riemann函数R可积的证明作准备。

复习：

几个记号：

分划：

（1）复述定积分存在的两个充要条件。

推论1 有界函数f(x)在[a,b]上R可积的充分必要条件是：对∀ε＞0，存在分划Δ，

定理2（定积分存在的第二充分必要条件）有界函数f(x)在[a,b]上R可积的充分必要条件是：对任意给定的两个正数ε＞0及σ＞0，可找到δ＞0，使得当任一分法满足λ(Δ)＜δ时，对应于振幅ωi'≥ε的那些区间Δxi'的长度之和∑Δxi'＜σ。

推论2 有界函数f(x)在[a,b]上R可积i'的充分必要条件是：对任意给定的两个正数ε＞0及σ＞0，存在一分法Δ，对应于振幅ωi'≥ε的那些区间Δxi'的长度之和Δxi'＜σ。

（2）这两个充要条件之间有何内在联系？

（3）如何应用这两个充要条件讨论函数的可积性？

证明所有ωi一致小于ε，如连续函数可积性的证明；

推论3：若f(x)在[a,b]上连续，则对∀ε＞0,总可在[a,b]上插入若干分点，使得f(x)在每个小区间上的幅度ωi＜ε。

证明n所有Δxi一致小于ε，如单调有界函数的可积性的证明；

将∑i=1ωiΔxi分成两部分，一部分ωi能一致小于ε，另一部分虽然ωi不能一致小于ε，但其区间长度的和能一致地小于σ，如只有有限个不连续点的有界函数的可积性的证明。

推论4：若f(x)在[a,b]上R可积，且积分值为I，又f∗(x)是f(x)在有限个点改变函数值后得到的函数，则f∗(x)在[a,b]上也R可积，且积分值仍为I。

2．改变教材的呈现方式，将命题分解为若干个前后呼应，环环相扣的小问题，把教材冰冷的美丽变为学生火热的思考。

例。定义Riemann函数

证明：

（1）对ε＞0，在任意有限区间[a,b]上使f(x)≥ε的点x只有有限多个。

（2）f(x)在任意一点的极限都为0。

（3）f(x)在所有无理点处连续，有理点处不连续。

（4）f(x)在任意有限区间[a,b]上都R可积，且积分值为0。

（5）f(x)没有原函数，从而R可积函数不一定有原函数。

3．巧妙设问，层层深化，引导学生深入思考，领略积分世界的新天地。

接上文，问：什么样的函数会没有原函数呢？

（6）含有第一类间断点的函数一定没有原函数。问：知道了f(x)的原函数是F(x)之后，

引导学生发现：上式左边积分不一定存在。这是因为

（7）有原函数的函数不一定R可积。

从而f(x)在含有0的区间[a,b]上无界，从而在[a,b]上不R可积。

问：我们知道含有第一类间断点的函数一定没有原函数，那么含有第二类间断点的函数是不是也一定没有原函数呢？

引导学生发现，由上例可知：

（8）含有第二类间断点的函数可以有原函数。

引导学生发现，此时不能套用牛顿-莱布尼兹公式，因为牛顿-莱布尼兹公式的条件是f(x)连续，但是牛顿-莱布尼兹公式可以推广为：

（9）若f(x)有原函数F(x)，且在[a,b]上R可积，

问：什么样的函数既有原函数又R可积呢？

问：只有有限个间断点的有界函数是R可积的，那么有无限个间断点的有界函数R可积吗？

引导学生由Riemann函数和Dirichlet函数不难发现：

（11）在[a,b]上有无限个间断点的有界函数可能R可积，也可能不R可积。

问：在[a,b]上有无限个间断点的有界函数在什么条件下会一定R可积呢？

（12）若在[a,b]上的有界函数有无穷多个间断点，但这无穷多个间断点只有唯一的聚点，则该函数在[a,b]上R可积。

问：若在[a,b]上的有界函数有无穷多个间断点，但这无穷多个间断点有有限个聚点，则该函数在[a,b]上R可积吗？

引导学生发现，由积分的区间可加性可知：

（13）若在[a,b]上的有界函数有无穷多个间断点，但这无穷多个间断点只有有限个聚点，则该函数在[a,b]上R可积。

问：若在[a,b]上的有界函数有无穷多个间断点，但这无穷多个间断点有无穷个聚点，则该函数在[a,b]上R可积吗？

引导学生由Riemann函数和Dirichlet函数可知

（14）若在[a,b]上的有界函数有无穷多个间断点，但这无穷多个间断点有无穷个聚点，则该函数在[a,b]上未必R可积。

4．引导学生对以上有关结论给出严格证明。证明追求严谨，但不拒绝形象直观。结合图形阐述有关证明思路，从而使推理深入浅出。

5．构造具体实例，帮助学生理解上述相关结论。

例 判断下列函数在[0,1]上是否R可积。

在引导学生思考“从间断点的多少的角度看，在[a,b]上的有界函数R可积有何充要条件？”的问题时，可告诉学生：实变函数理论告诉我们

6．适当拓展，激发学生的求知欲。

设f(x)在[a,b]有界，则f(x)在[a,b]上R可积的充要条件是f(x)在[a,b]几乎处处连续，即f(x)在[a,b]的间断点构成零测度集，形象地说，其间断点不“很多”。

又如：Dirichlet函数在[a,b]上不R可积，但改变积分的定义方式，如在勒贝格积分的意义下它又是可积的，此时称L可积。

结语

从Riemann函数的几个常用结论出发，精心设计了一系列环环相扣的问题情境，引导学生始终处于问题的探索与求真的过程中，证明与反例相结合，帮助学生厘清了一此似是而非的错误理解，将对定积分的理解上升到一个新的高度。更重要的是，学生在积极参与知识的探索过程中培养了发现问题、提出问题的可贵的科学品质和创新精神。