方程思想在解含三角形n等分线问题中的应用

（四川省内江天立（国际）学校 四川内江 641000）

方程思想贯穿中学数学始终.几何学科中求值问题常涉及利用方程思想解题，其核心解题思路是以所给条件为抓手、表示题中相关量、寻求等量关系、建立方程求解未知量.本文以“含三角形n等分线”为问题导向，以方程思想为解题主线，分别研究六类等分线问题，供读者参考.

类型1 三角形内角n等分线形成的角

例1 在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的n等分线分别交于点O1、O2、…、On-1，求∠BOn-1C的度数.（用α表示）

解析 因为∠ABC、∠ACB的n等分线分别交于点O1、O2、…、On-1，故令∠O1B C=∠O2B O1=∠O3B W2O=…=∠ABOn-1=x°，

∠O1C B=∠O2C O1=∠O3C O2=…=∠ACOn-1=y°，

点评：该问题实质上是求∠BOn-1C与∠A的数量关系，可借助“三角形内角和为180°”，利用方程思想分别将这两角放入△ABC和△On-1BC中研究，值得注意的是，解答时设元x、y但不求x、y的值，体现了整体代入消元、“设而不求”思想.另外，此题拆去边BC，立得类型2.

类型2 “规形图”n等分线形成的角

例2 如图，∠ABD，∠ACD的n等分线相交于点G1、G2…、Gn-1，若∠BDC=α，∠BG1C=β，求∠A的度数．（用α、β表示）

分析

此题解法类似例1，抓住∠B GiC=∠ABGi+∠ACGi+∠BAC，利用方程思想，

类型3 三角形外角n等分线形成的角

点评：此题与上题类似，类比推理可得.

类型4 三角形内角n等分线和外角n等分线形成的角

例4 如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；

∠A1BC和∠A1CD的平A分线交于A点A2，得A∠A2；∠AnBC和∠AnCD的平分线交于点n，得∠n，求∠n的度数.（用α表示）

解析 令∠ABA1=∠A1B C=x°,∠ACA1=∠A1C A2=y°，

点评：本例与前3例有所不用，体现在反复利用迭代思想或观察规律求∠An.此题常作为考试选择、填空中压轴试题.

类型5 折线“8字”型n等分线形成的角

例5 ∠BAD的平分线AE1与∠BCD的平分线CE1交于点E1，∠BAE2的平分线AE2与∠BCE2的平分线CE2交于点E2，......，∠BAEn的平分线AEn与∠BCEn的平分线CEn交于点En，则∠AEnC与∠ADC、∠ABC之间是否仍存在某种等量关系？若存在，请写出你得结论，并给出证明；若不存在，请说明理由。

解析 折线“8字”型问题，要抓住（以此题为例）

∠ADC+ ∠DCB=∠ABC+∠DAB

这一等量关系解题.此题不妨令∠DCB=x°,∠DAB=y°，

则∠ABC-∠ADC=x°-y°.

由CE1平分∠BCD，AE1平分∠BAD，

类型6“ M ”型n等分线形成的角

例6 如图，AB∥CD，∠BAD的平分线AE1与∠BCD的平分线CE1交于点E1，∠BAE2的平分线AE2与∠BCE2的平分线CE2交于点E2，......，∠BAEn的平分线AEn与∠BCEn的平分线CEn交于点En.判断并说明∠AEnC与∠ADC、∠ABC之间存在的数量关系.

分析：解法同上题，答案略.

点评：“M ”型n等分线形成的角与折线“8字”型n等分线形成的角具有相似之处，可类比推理分析问题.

以上所述6类“含三角形n等分线形成的角”仅为单一命题形式，常见地还有以组图形式、问题串形式等考查学生思维，方程思想方便之处在于简化角的书写表达，便于分析问题.教学时教师需注重引导学生将复杂问题简单化、简单问题条理化.