高次分段函数为基元的罗茨转子型线设计

2019-01-18章圣意林景殿周兴东苏中地

中国计量大学学报 2018年4期

章圣意,林景殿,周兴东,苏中地

(1.浙江苍南仪表集团有限公司,浙江苍南 325800;2.中国计量大学计量测试工程学院,浙江杭州 310018)

由于国家环境保护政策的影响,气体流量计作为计量气体流量的仪表而得到了迅速的发展.气体罗茨流量计也称气体腰轮流量计,一种容积式流量计量仪表,是气体流量计的一大重要种类.气体罗茨流量计以其精度高、量程范围宽、体积小、重量轻、安装维修方便、使用可靠及耐久的使用寿命等特点,在许多领域特别是城市燃气、油田化工方面得到了广泛应用.

罗茨流量计的转子一般叫做罗茨轮,以两叶型居多.转子横断面的外轮廓称为转子型线.以型线类别划分罗茨轮主要有三类:圆弧型、摆线型和渐开线型.金瑞明[1]对圆弧型罗茨型线进行研究时,从圆弧型罗茨型线的啮合理论出发,推导出型线的解析表达式.秦丽秋和刘玉岱[2]提出两种圆弧转子型线,一种是转子峰形是圆弧,谷形为其共轭曲线;另一种是转子谷形是圆弧,峰形为其共轭曲线.徐文兵等[3]介绍了一种偏心圆弧转子型线.朱超颖等[4]提出了一种由多段圆弧和圆弧包络线组成的罗茨型线.张长兴[5]考察了全摆线型罗茨转子的计算公式.张帅等[6]根据摆线形成原理导出摆线型罗茨转子的型线方程,利用软件生成实体模型并进行运动仿真.叶喜伦和王颖[7]对渐开线型罗茨转子的型线进行推导,给出了第一象限内三段曲线的坐标表达式.李海洋等[8]对传统渐开线型罗茨转子的型线进行改造,改造后的转子型线更加平滑流畅,性能更优.潘友艺等[9]也提出一种渐开线型罗茨转子的型线.李建磊和叶仲和[10]主要研究了内外圆弧加摆线型的转子.刘林林等[11]则在传统渐开线的基础上加入摆线后,优化了转子的性能.

严格地说,对于罗茨转子这种两齿齿轮,只要符合齿轮啮合原理,罗茨流量计的转子型线可以不限于圆弧型、摆线型和渐开线型.从这一点出发进行研究,目的是设计出新型的转子型线.赵森等[12]采用三次样条曲线来构成罗茨转子轮廓.本文以分段高次曲线为基元,设计了一种新型的罗茨流量计转子型线,并在此基础上研究了型线的啮合特性和面积利用系数.

1 型线的几何构成

一般情况下,平面曲线可以有笛卡尔坐标表示法和极坐标表示法.许多关于罗茨型线的文章采用的是笛卡尔坐标表示法,本文将采用极坐标表示法.因为极坐标表示法表示的是不同极角下的极径.极角是指从X轴开始沿逆时针方向的某射线夹角,极径是指位于该角度下曲线上的点到原点的长度.考虑三次以上的曲线,表示将更为复杂,权衡复杂性和精确度,选择以分段三次曲线为基元,辅以圆弧曲线,以构成一种连续的罗茨轮型线.作为例子,取一种浙江苍南仪表集团有限公司生产的罗茨轮作为改进的原型,原型基圆直径为46 mm,取基圆圆心作为原点,型线关于X、Y轴对称,所以仅考虑第一象限的情况.通过对原型的分析和上诉的罗茨轮构成思路转子型线的几何构成如图1.

图1 以分段高次曲线为基元的罗茨型线Figure 1 Roots line with the subsection high order curve as the elements

对于第一象限的曲线以角度为45°的线为界可以把它分为两部分,大于45°角的曲线分为三段,即AB、BC和CD,小于45°角的曲线分为四段,即DE、DF、FG和GH.具体各段的曲线公式和曲线段端点如表1.表中的极角是指从X轴开始沿逆时针方向的某射线夹角,极径是指位于该角度下曲线上的点到原点的长度.AB和GH段由圆弧所组成,其他均由三次曲线组成.曲线共有7段,有8个端点.表1中,对应的极角和极径得到端点,两端点之间是曲线公式.特别值得注意有两点,一点是45°角两边,即以45°角为中心,以5.9°以内的任一角度在两边取两极径,则两极径之和等于45°角处极径之两倍.另一点是在39.1°和37.9°之间,曲线出现了两次取值,这也是我们这次设计的特殊之处.将得到的公式进行运算,可得到罗茨子上各点的坐标,将公式逐段导入Solidworks中,考虑排污槽和加工特点,再通过镜像便可得到完整的二维和三维罗茨轮如图2.

表1 曲线公式和端点Table 1 Formula and endpoints of curves

图2 罗茨轮轮廓线Figure 2 Geometric shape of Roots wheel

2 型线特点

罗茨流量计的转子是其核心部件,那么设计罗茨转子时应考虑以下要求:首先型线要关于X、Y轴对称,满足齿轮齿廓啮合理论,以保证转子在运转时平稳;其次容积利用率应尽可能大,即在相同的工况下的转子所占面积最小;最后在选材时要保证转子具有足够刚度和耐腐蚀性,最好进行表面处理.

图3 两罗茨轮对滚状态图Figure 3 Intermeshing state of two Roots wheel

图3给出了两罗茨轮对滚状态图通过对滚,得到的间隙几乎为零.在实际加工中,由于加工精度的原因,间隙为零是不可能做到的.如果设定间隙为零,则由于加工误差,得到的罗茨轮必定卡死.现在将设计极径乘以一小于1而又接近于1的系数,就得到了具有微小间隙(一般设定为10丝=100 μm)的设计罗茨轮.因此，运转过程中两轮之间存在微小的间隙,不产生摩擦现象.按照要求,设定间隙为110 μm,对此罗茨轮进行对滚,得到最小间隙99.7 μm,最大间隙121.4 μm,平均间隙110.5 μm.

但如果转子在啮合点不能保证光滑地过渡,则被测介质会跟转子发生摩擦现象,产生局部压力损失,影响测量精度.所以在啮合处的型线要光滑.因此，转子型线的连续性是影响其性能的重要指标.连续性指型线的各曲线段间连接点的光滑程度.那么判断参数曲线的光滑性的标准是:采用曲线函数的可微性来判断，要求曲线不仅需要相交,而且交点处导数要相等.根据设计的完整曲线方程,可以得到各段曲线相交处交点的坐标,再对交点进行左右求导可得(表2).

表2 曲线各连接点左右导数值Table 2 The Left and the right derivative values of each connection point of the curve

表2中对应每一连接点给出了左右导数,除了F、G两点曲线的导数有些小差别外,其它点的导数均相同,属于光滑连接,连续性好,基于罗茨转子的工作原理,各点的光滑连接便于罗茨轮的滚动,从而对流量计的工作性能产生有利的影响.其中G、H两点的导数虽然完全不同,属于不光滑连接,但是由于GH段不参与啮合,所以此两点的不光滑连接对流量计的整体性能影响很小.

新型罗茨转子的面积利用率要尽可能的大,即在相同的工况下,转子较腔体面积占比要尽可能小.根据转子面积利用率的定义,面积利用系数λ为转子旋转一周时外圆半径扫过的面除以转子的横截面面积后减去1.利用Solidworks集成的工具求得面积,再根据面积利用系数公式求得转子型线的面积利用系数(表3),其中新设计的曲线转子面积利用系数最大,渐开线型次之,圆弧型再次之,摆线型的面积利用系数最小.