树立三种意识，突破导数解题瓶颈

张东锁

摘 要：函数与导数问题是高考数学压轴试题，体现了函数与方程、数形结合、化归转化和分类讨论思想，从培养学生“三种意识”入手，分析其解题策略，培养解题能力。

关键词：导数解题;三种意识;解题策略

将导数内容引入高中数学教材，极大地丰富了学生研究数学问题的方法。导数的应用实现了函数与不等式、方程等多个知识点的交汇，受到命题者青睐。函数与导数问题是近些年来高考数学压轴试题，每年的考题新颖不重复，难度大。此题把高中数学的函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想和分类讨论思想体现得淋漓尽致。许多学生遇到导数试题就不知所措，常常感到 “似曾相逢不相识，无可奈何花落去”。本文从培养学生“三种意识”入手对函数与导数试题进行分析，说明其解题策略，以突破求解瓶颈。

一、观察意识

数学解题中，观察是一种很重要的思维活动。为了顺利求解，首先要学会观察，观察对象可分为两类：一是符号（数字、字母、运算符号、关系式）或文字所表示的数学关系式，命题或问题;另一种是图形、图象和图表。在运用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题中，常常涉及确定方程的解，当通过解方程无法求出该方程的解时，就需要对方程特征进行分析，观察出f′（x）=0的解，以达到解决问题的目的。

例1.已知函数f（x）=x2-ax，g（x）=lnx。

若f（x）≥g（x）对于公共定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围。

解：由f（x）≥g（x）得：x2-ax≥lnx（x>0），则不等式a≤x- 对任意x>0恒成立。

设h（x）= （x>0），于是h（x）= ①。

观察①式，不难发现当x=1时，h（x）=0。

因为x∈（0，1）时，h′（x）<0，函数h（x）单调递减;当x∈（1，+∞）时，h（x）>0，函数单调递增。所以函数h（x）的最小值是h（1）=1。

故实数a的取值范围是a≤1。

点评：本题求解的关键是研究函数h（x）在（0，+∞）上的单调性，而确定函数单调性不可回避的一点就是求方程h′（x）=0即x2+lnx-1=0的根。如何求这一方程的根呢？这是用代数方法不能解决的，要善于观察，发现x=1是方程h′（x）=0的根。解方程时，分析方程特点，通过观察，发现方程的根看起来没有道理，实际上是学生数学素养的体现，这方面的能力培养在我们平时的教学中是不容忽视的。

二、构造意识

构造模型解题是根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（或所证）”之间的联系纽带，另辟蹊径解题。用构造法解题被构造内容是多样的，没有固定模式。在函数与导数试题中，构造函数、不等式或方程是解决参数范围、证明不等式和讨论函数的零点等问题的一种行之有效的方法。

例2.已知函数f（x）=lnx-ax+1（a∈R）

（1）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围。

（2）设n∈N+，证明： + +…+

解（1）由lnx-ax+1≤0（x>0）知，a≥ + 。

設h（x）= + ，对于任意x∈（0，+∞），f（x）≤0恒成立的充要条件是当x>0时，a≥h（x）max。

h′（x）= ，当x∈（0，1）时，h′（x）>0，函数h（x）单调递增;当x>（1+∞）时，h′（x）<0，函数h（x）单调递减。

所以当x=1时，h（x）的最大值是h（1）=1，故a≥1。

（2）取a=1，由（1）知lnx≤x-1，令x= （n∈N+），则ln ≤ -1。

即lnn-ln（n+1）<- 。

从而ln1+ln2-ln3+…+lnn-ln（n+1）<-（ + +…+ ），故 + +…+

点评：问题（2）求解的关键是取a=1，构造不等式lnx≤x-1，令x= （n∈N+），再结合不等式性质解答。根据所证不等式结构特征构造相应的函数或不等式，研究该函数单调性是解决这一问题的基本方法，体现了导数的工具性及函数与方程思想。

三、图象意识

函数图象是函数性质的直观体现，借助图象可以把某些抽象的函数问题形象化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质。在导数试题中，涉及方程的根或函数零点、函数最值、解不等式及求参数范围等的问题屡见不鲜，这类试题综合性强，求解时要善于构建函数模型并结合其图象“以形助数”。

例3.已知函数f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常数。

讨论函数y=f（x）零点的个数。

解：令f（x）=lnx-ax+1=0（x>0），则a= 。

设g（x）= ，y=a，则g′（x）= =- 。

当x∈（0，1）时，g′（x）>0，g（x）单调递增;当x∈（1，

+∞）时，g′（x）<0，g（x）单调递减。所以当x=1时，g（x）有最大值g（1）=1。

由于g（ ）= =0，当x∈（0，1）时，g（x）单调递增，所以当x∈（0， ）时，g（x）<0，当x∈（ ，1）时，

g（x）>0;当x∈（1，+∞）时，g（x）>0。

作出函数g（x）= （x>0）及y=a的图象（如下图），观察两个函数图象的交点，不难发现：当a≤0或a=1时，函数y=g（x）与y=a的图象有且只有一个交点，所以函数f（x）有一个零点;当01时，函数y=g（x）与y=a的图象无交点，所以函数f（x）无零点。

点评：运用导数研究方程的根或函数的零点问题，就是利用数形结合思想，通过函数的性质找到方程的根或函数零点的各种情况所满足的关系式.在本题中函数的零点问题最终归结为函数g（x）= （x>0）图象

与直线的交点问题，而这个问题的解决要通过作函数

g（x）= （x>0）的图象来完成。

函数与导数试题是每年高考必考试题之一，近几年在高考中的考查力度不断加强。在日常教学中，教师要注重从解题思路的探寻上下功夫，弄清解法的根源所在，这样学生才能做到“悟其必然，品其真味”，进而提高分析问题、解决问题的能力。

参考文献：

[1]陈少春，虞关寿.浅谈立体几何解题教学的三种意识[J].中学数学研究，2018（7）：12-15.

[2]万军.导数解题中思维障碍的突破[J].高中数理化，2016（6）：13.

编辑 杜元元