四则运算法则在极限运算中的应用探究

李波 刘乃伟 侯汝臣 王广富

摘要：文章通过对极限运算过程中经常出现的一些错误进行分析，发现大多都是因为对极限四则运算法则条件的忽略或理解不到位所致，通过例题解析分析这些错误的根源及其与四则运算法则条件的关联。

关键词：极限运算;四则运算法则;复合运算法则

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2019）50-0213-02

一、引言

极限是高等数学微积分理论的基础，是学习微积分的重要工具，熟练掌握极限的计算方法和技巧是后续课程学习的必要基础。关于极限运算的法则归纳起来主要有两个：四则运算法则、复合函数运算法则，另外还有很多关于极限计算的方法，如无穷小的相关性质、等价无穷小量代换、迫敛准则、洛必达法则、两个重要极限的应用等。在这些法则和方法中，四则运算法则最简单，最容易理解，也最容易被忽视。在教学过程中，我们发现学生做极限计算题时经常会出现一些低级的错误或者模棱两可。比如，极限运算中哪一部分函数可以运用连续函数的性质直接代入值计算，哪些又不可以;又如，等价无穷小量代换时，什么时候可以代换，什么情况下不能代换。很多情况下，学生会被告知或自己总结出某种规律，比如乘除、加减等，以方便计算极限时按模式套入应用，但这种方法缺乏严谨性，总有其本质原因。经仔细分析发现，出现这些错误的根本是忽略了四则运算法则的应用条件及其适用范围。如果我们计算极限时更严谨一些，仔细分析每一步计算的因果关系，这些错误是完全可以避免的，也不用死记硬背一些所谓的模式或套路。

二、四则运算法则及其条件分析

首先我们分别给出数列和函数极限的四则运算法则。

（一）数列极限的四则运算法则

对于应用四则运算法则计算极限，有两个前提条件是必须要引起重视的：一是极限的存在性，二是项数的有限性。也就是说，必须事先确保每一部分的极限都存在，这样才能对相应的数列或函数的极限运算运用四则运算法则，而且参与四则运算的数列或函数必须为有限项。事实上，从后来的级数理论我们知道，对于无穷多项和极限，是否能将极限运算与无穷多项和的运算互换要用到函数的一致收敛性，这一点是非常关键的，不能做简单的推广。

三、例题解析

我们对一些经典的极限运算题目进行解答分析，在此过程中，可以发现四则运算法则是如何被应用的，如果某些重要的前提条件被忽视会发生怎样的错误。

【解析】本题为数列的极限计算题，为n项和的极限，每一项的极限均为0。但需要注意的是，当n→∞时，数列和式的项数也趋于无穷大，四则运算法则的条件是不适用的。如果错误的运用四则运算法则，按如下方法计算：

结论显然就错了。本题正确的做法可以采用夹逼准则，其正确结果应为1。

本题也是忽略了两个函数商的极限运算法则的条件，即分母函数的极限不能为0。因此，第二步就已经错了，不能运用法则。正确的方法应是运用无穷小量与无穷大量的关系：无穷小（非零）的倒数是无穷大，分母的函数（x-2） 在x→1的过程中为无穷小量，分子的极限为非零常数，故极限为无穷大量。

要弄清这个问题，我们需要确定两个关键条件：一是等价无穷小量代换的条件，二是四则运算法则应用的前提条件。关于无穷小量代换，定理中要求是相乘或相除的两个无穷小量可以进行代换，或者是对无穷小量整体进行代换，而此处是减法运算，显然不满足条件。另外，由于分母极限为零，商的运算法则不成立，极限运算无法直接整体作用于sinx和tanx。如果将分母函数改为极限不为零，假设为cosx，则可应用四则运算法则做如下计算：

能否做等价无穷小量代换，关键要看极限运算能否直接作用于该函数，而能否直接作用于该函数，四则运算法则的应用条件又是关键。

四、结语

四则运算法则是极限运算的一个重要法则，但由于简单易懂，在做极限运算题目时往往被忽略，不被重视，进而导致出现很多与之相关联的错误的发生。事实上，绝大多数的极限计算题目都会用到该法则，如果在做题的过程中稍微关注并考虑下四则运算法则的条件是否满足，对很多概念的理解和做题过程中出现的模棱两可的问题就会变得清晰，错误也就可以避免了。

参考文献：

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