借助技术 操作体验：数学史融入数学教学的新尝试——以“正多边形与圆”的教学为例

石树伟

(江苏省扬州市广陵区教师发展中心 225006)

1 问题提出

数学史之于数学教学的价值，早已为数学教育界所认识，数学史和数学教学的结合已成为数学课程改革的必然趋势．但长期以来，教学实践中对数学史的应用一直存在着两个瓶颈：一是史料及意识的缺乏导致数学史的应用成为“无米之炊”，特别是教师不能敏锐发现或充分挖掘教学内容中数学史融入数学教学的融合点，数学史融入的大好时机常常被忽略；二是深度融合方式的不足导致对数学史的“高评价，低利用”，数学史的教学多是材料阅读、故事讲述、视频观看等简单附加式的教学方式，是“为历史而历史”的浅层使用，其价值取向局限于人文素养的提升，仅关注学生的情感态度价值观，缺少对数学知识理解和数学思想感悟的关注.

下面的“正多边形与圆”教学课例在数学史融入数学教学方面作了一些探索与尝试，以期能为克服上述瓶颈提供来自教学实践、有参考价值的解决方案.

2 课例再现

“正多边形与圆”课例是笔者观摩了江苏省苏州中学园区校沈健老师的教学视频后，结合学情进行板块整合和修改，在公开教学中予以实施的教学课例．本节内容选自苏科版义务教育教科书·数学九年级上册§2．6并适当加以改造，教学内容主要为正多边形的概念、性质和画法．课例将按照从特殊到一般、从有限到无限的逻辑线索展开：现实特例→正多边形概念→画一般正多边形→深度迭代生成一般正n边形→体验“割圆术”．需要解释的是，这里的现实特例既包括学生的数学现实，即学生已经学习的正三角形和正方形，也包括学生的生活现实，如生活中常见的正五边形霓虹灯边框、正六边形螺帽边缘等.

2．1 从课外到课内

前期教学中，教师已指导学生掌握了几何画板软件的基本操作，学生能够在电脑上独立使用几何画板软件．本课课前教师预先做好一个几何画板文件的预习作业，通过网络学习交互平台推送给学生，要求学生在家中电脑上完成：

操作1应用几何画板绘制正三角形、正方形、正六边形；

操作2根据所绘正多边形研究其对称性，应用几何画板的测量功能测量各正多边形的内角和边长等，完成操作记录表中的相关内容(如图1).

教师课前通过网络学习交互平台收集学生的作业文件并进行批阅，发现优秀作业和存在的典型问题，为组织学生课内的交流做好准备.

图1 学生预习作业示例

2．2 从现实实例到正多边形概念

问题1(投影如图2图片)霓虹灯的边框、正六边形螺帽的边缘给我们以什么形象？我们已经学习过哪些类似的图形？

图2 生活中的正多边形

通过问题1引导学生进行数学抽象，从而揭示本课的研究对象——正多边形.

问题2(将全班同学的预习作业打包推送给所有学生，相互交流评价)绘制正三角形、正方形、正六边形有哪些思路，作图的依据是什么？如何验证我们作图的正确性？

教师引导学生通过几何画板的显示/隐藏功能探索同学的作图方法，并与自己的方法进行比较．待相互交流学习后有选择地请1～2位同学介绍作图思路及依据，学生的预习作业中主要出现以下两种作图方法：①通过线段的摆放画出正多边形；②通过几何关系构造正多边形(如图3)．教师演示通过拖动正多边形的顶点研究绘制的图形是否具备几何关系，从而分辨这两种不同的作图方法，并指出方法②构造的正多边形可以随意改变位置和大小，且保持几何关系不变．

图3 三种常见正多边形的常规构造方法展示

通过师生对话和测量验证，交流如何验证作图的正确性，从而揭示正多边形的本质特征：各边相等、各角也相等，引导学生归纳正多边形的定义.

2.3 从特殊正多边形到一般正多边形

问题3正三角形、正方形、正六边形都是一些特殊的正多边形，它们可以通过特殊的几何关系构造出图形．非特殊的一般正多边形，比如正五边形如何画呢？

学生先尝试应用几何画板画图，发现原有的构造特殊正多边形的方法具有局限性，形成认知冲突，然后师生通过探索交流形成画法：通过等分圆心角画正五边形(如图4).

图4 等分圆心角作正五边形的过程截图

问题4如何说明等分圆心角画出的五边形一定是正五边形？

学生先独立思考再小组交流，最后大班汇报等分圆心角作正五边形的依据.

操作3应用几何画板分别画一个奇数条边和偶数条边的正多边形，并根据自己绘制的正多边形研究其对称性(轴对称性和中心对称性)，将自己探索的结论填写在操作记录表中．(操作记录表与预习作业类似，此处略)

学生先操作，通过操作加深对正多边形与圆的关系的理解．然后上传交流，教师汇总展示，并引导学生联系正三角形、正方形、正六边形总结正多边形关于对称性的规律.

问题5通过等分圆心角画正多边形是通性通法，具有一般性．但边数改变就要重新计算等分的圆心角度数，然后按等分的圆心角度数标记一个角，再按标记的角将线段绕着点O依次旋转，重复操作太多．如何再一般化，知道边数能快速绘制所对应的正多边形？

这是一个无需学生回答的引导性问题，意在让学生体会建立一般模型的必要性．然后教师在几何画板中演示利用深度迭代功能生成正n边形(如图5)，教师主要侧重两个操作：①引入变量，将之前的具体数字替换为变量n；②深度迭代的实现．教师将应用深度迭代功能生成的正n边形几何画板文件推送给学生共享，学生尝试变换边数n的值，体会用变量代替具体数值后的模型应用的便捷.

图5 利用深度迭代功能绘制的正n边形

2.4 从正多边形(有限)到圆(无限)

问题6利用老师制作的正n边形，从小到大输入不同的n值绘制正多边形，观察这些正多边形你有什么发现？

学生先独立操作体会，再合作交流展示，体会发现“当n不断增大时，正n边形就不断趋近于圆”的现象(如图6).

图6 当n=100时正多边形接近于圆示意图

问题7应用几何画板的测量计算功能探索：当n的值由小到大变化时，正多边形的周长与近似圆的直径的比值有何变化规律？

学生先独立操作探究，再小组汇报交流．教师有选择地展示点评几位学生的研究结果(如图7)，引导学生体会感悟应用“割圆术”计算圆周率π近似值“化曲为直、无限逼近”的思想．[1]

图7 重现“割圆术”计算圆周率π的近似值

问题8“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这是我国古代数学家刘徽的经典数学名句，请结合前面的操作体会谈谈你对这句话的理解.

学生独立思考后交流汇报，教师适时介绍我国古代数学家刘徽、祖冲之的工作及成就.

2.5 从课内到课外

阅读请在百度百科https://baike.baidu.com/搜索“割圆术(刘徽)”，阅读相关资料.

3 课例启示

课例适当改造教材，大胆引入几何画板工具，从特殊到一般，通过几何关系或等分圆心角画正多边形，掌握其画图原理；从有限到无限，在信息技术环境下体验“割圆术”求圆周率π的近似值，理解正多边形与圆的关系并感悟其中“化曲为直，无限逼近”的思想．课例为数学史融入数学教学提供了一个鲜活的案例，对数学史融入数学教学启示良多，特别是数学史的有机融入，为解决数学史融入数学教学的瓶颈问题提供了有价值的参考方案．

3.1 借助信息技术，挖掘教学内容中数学史的融合点

当前数学教学实践中，教师有在数学教学中融入数学史的愿望，也有一定的数学史知识，问题就是在具体内容教学时，有时意识不到此处可以融入数学史，或限于技术手段暂时无法在此处深度融入数学史．敏锐意识和技术手段的不足，导致数学史融入数学教学的融合点难寻，使数学史的应用成为“无米之炊”．课例借助信息技术，开发挖掘教学内容中数学史融入数学教学的融合点，为克服数学史应用的“无米之炊”瓶颈提供了来自教学实践、有参考价值的解决方案．

3.1.1与时俱进引入信息技术为数学史的融入创造了机会

首先，为体现数学双基的与时俱进，呼应信息技术的广泛应用，教者对教材内容适当改造，大胆引入信息技术，为数学史的融入提供了机会．张奠宙教授提出要“与时俱进地认识‘双基’”，我国的数学教学具有重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统，新课程改革应继续发扬这种传统．与此同时，随着时代的发展，特别是数学的广泛应用、计算机技术和现代信息技术的发展，数学课程设置和实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，形成符合时代要求的新的“双基”．[2]各版本教材中，“正多边形与圆”部分均将利用直尺、圆规、量角器等传统工具画正多边形作为重要内容，但在实际生产生活中，机械制图、工艺美术设计等都已经完全采用软件绘图，手工绘图已基本绝迹．因此课例对教材进行了适当改造，重点放在让学生利用几何画板画正多边形并掌握其画图原理．这样的改造体现了对于画正多边形这一技能和能力的与时俱进的认识，减少了学生传统技能训练的时间，为学生的操作探究向纵深发展节省出了时间，先进的几何画板软件也为学生能亲历体验“割圆术”提供了工具．

3.1.2信息技术条件下敏锐发现教学内容中数学史的融合点

其次，在具备数学史料和技术工具的基础上，教者能敏锐发现教学内容中数学史的融合点．在传统教学中，利用传统手段可以让学生学会等分圆心角画正多边形并掌握其原理，但囿于传统工具绘图、测量的效率和精度，在“正多边形与圆”学习时很难意识到或做到通过等分圆心角画正多边形计算圆周率π的近似值，从而不能有机融入“割圆术”、体会前人思想的创新和伟大．而在课例中，教师敏锐意识到等分圆心角画正多边形是“割圆术”的算法基础，引入几何画板这一信息技术手段，不仅能让学生掌握等分圆心角画正多边形的原理，而且其绘图、测量的高效率和高精度使“割圆术”融入“正多边形与圆”的教学成为可能．可以说，是现代信息技术的使用，发掘了“正多边形与圆”这一数学史融入数学教学的新融合点，这里信息技术的使用实现了原有教学手段难以达到甚至达不到的效果．

3.2 通过操作体验，深度融入数学史感悟原始思想和创造

数学史就其本质而言是人类数学思想的发展史，而数学教育的高境界是数学思想的感悟和熏陶，因而，数学教育无疑能从数学史中汲取更丰富的养分，数学史也完全能够促使数学教育变得更加丰富和深刻．数学史的教育价值在于激发学生学习兴趣，引导学生更好地理解数学，把握和了解数学家们的原始思想，感悟数学思想的魅力．[3]因此，数学史的教学需树立并践行“为教学而历史”的理念，充分发挥数学史的教育价值，这就需要研究数学史如何深度融入数学教学．当前教学实践中，简单附加式的数学史教学是“为历史而历史”，数学史的教育价值未能充分挖掘，深度融合方式的不足导致对数学史的“高评价，低利用”．课例通过操作体验，深度融入数学史感悟原始思想和创造，为克服数学史的“高评价，低利用”瓶颈提供了来自教学实践、有参考价值的解决方案.

3.2.1 操作体验有助于数学史的深度融入

首先，通过操作体验让学生浓缩亲历数学史，有助于数学史的深度融入．课例中，教者应用几何画板的深度迭代功能生成一般情形的正n边形(其中变量n可输入任意正整数)，引导学生观察边数n不断增大时正多边形与圆的关系，应用几何画板的测量计算功能研究边数n不断增大时正多边形周长与近似圆直径比值的变化规律，结合操作体会经典数学名句的意义，最后介绍我国古代数学家刘徽、祖冲之的开创性工作及伟大成就．这里的数学史教学不是简单的灌输告知，而是亲历体验、深度融合.

课例注重学生操作体验方式的优化，特别是利用网络平台优化数学史融入体验的互动反馈．课例利用几何画板软件进行课前、课堂操作探究活动，提升了作图测量的效率和精度，使学生的操作探究得以向纵深发展；应用网络构建学习交互平台，实时了解每位学生探究体验的学习状况，及时做好收集、评价和反馈，并对个别学生及时进行个性化指导；指导学生利用互联网自主获取数学史的相关知识，使学生的学习从课内向课外延伸．无论是课外还是课内，都注重在信息技术环境下引导学生动手操作、互动交流、体验感悟，在做数学中思考依据、探究规律，感悟基本思想，积累活动经验，领略数学文化.

3.2.2 操作体验有助于核心素养的全面落实

其次，操作体验有助于核心素养的落实，在操作体验中深度融入数学史更有助于核心素养的全面落实．这里既包括学科教学层面的数学核心素养的有效落实，还包括公民教育层面的中国学生发展核心素养，如人文底蕴、责任担当等素养的有机落实.

课例让学生从数学现实和生活现实中的特例抽象得到正多边形的概念，有机渗透作为数学基本思想的抽象思想，培养学生的数学抽象素养；学生利用几何画板，通过几何关系构造特殊正多边形，或通过等分圆心角画一般正多边形，先操作再说明操作的道理，有机渗透作为数学基本思想的推理思想，培养学生的逻辑推理素养；利用几何画板，通过等分圆心角先画边数具体确定的正多边形，再用字母表示数引入变量——边数n，生成一般情形的正n边形，有机渗透作为数学基本思想的模型思想，培养学生的数学建模意识和素养；深度融入数学史，引导学生观察边数n不断增大时正多边形与圆的关系，体会数学名句“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的意义，培养学生的直观想象素养，同时让学生充分感受中华民族光辉灿烂的数学文化，由衷激发学生的民族自豪感和学好数学的愿望，爱国主义和学习激励教育自然渗透，入耳、入脑、入心，有效提升学生的人文底蕴和责任担当等素养.