位场欧拉反褶积方法适用性分析及其应用

罗 潇， 王彦国， 张 瑾， 邓居智， 吴姿颖， 陈姝霓

(东华理工大学 放射性地质与勘探技术国防重点学科实验室,南昌 330013)

0 引言

重磁勘探具有经济、快速、范围大、探测深等优点，是进行大地构造划分、地质填图、矿产圈定等方面的重要方法[1-2]。位场反演是获得地下场源位置及几何形状等信息的重要手段，其中欧拉反褶积是一种可以自动估算场源位置信息的常用位场反演方法，该方法具有较强的灵活性、易于实现、结果直观，不需要较多的先验信息等优点而得到了广泛地研究与应用[3-6]。欧拉反褶积法是由Peters[7]最初提出，Thompson[3]进一步完善，Reid等[4]推广至三维资料处理的一种方法。但是当地下地质情况复杂时，欧拉反褶积反演出的参数解非唯一且发散，甚至存在虚假解，从而降低了该方法的实用性[8-9]。因此，许多研究者根据常规欧拉反褶积方法所存在的问题提出了一系列的新方法，Salem等[10-11]将解析信号与欧拉反褶积结合起来提出AN-EUL反演法，利用解析信号的幅值估算场源深度及构造指数，此后又基于Tilt梯度提出Tilt-Euler法[12]，提高了反演解的稳定性和收敛性；马国庆等[13]提出梯度反褶积法，利用梯度数据来反演场源体位置信息；Guo等[14]提出了基于垂向一阶导数与解析信号比值的欧拉反褶积法，精准估计场源范围及埋深；李丽丽等[15]把归一化总水平导数应用到欧拉反褶积中，有效完成异常体水平位置和深度的估计。

然而欧拉反褶积还没解决一个根本性问题：常规欧拉反褶积是如何推导而来的。这个问题决定了欧拉反褶积理论基础是否正确，适用情况以及优化改进方向。基于这一基本问题，笔者从单一场源欧拉反褶积公式出发，分析推导出了在一定假设条件下的常规欧拉反褶积公式，同时指出对常规欧拉反褶积方程进行求导可以在一定程度上提高方法的适用性。通过模型试验和实际资料处理，探讨了方法适用性，分析了反演结果的可靠性，为欧拉反褶积法的有效使用提供了借鉴。

1 基本原理

对于单一场源，满足欧拉齐次方程[3]时有

(1)

地下场源是非单一的，假设由M个地质体构成，对于其中的第i个地质体，则有：

(2)

那么M个地质体叠加的欧拉反褶积可写为式(3)。

(3)

(4)

由式(4)可以看出，对于多源叠加异常，常规欧拉反褶积是难以精确求解出场源几何参数和构造指数的。倘若第i个地质体上方的叠加异常导数值基本等于自身导数异常，即：

(5)

那么式(4)可被替换为式(6)。

(6)

式(6)还可进一步改写为式(7)。

(7)

(8)

式(8)即为欧拉反褶积公式。

显然，式(8)是在式(4)的假设条件下推导而来的，式(8)中B也并非是简单的背景场，而且野外观测数据大多是非齐次场。因此利用式(8)处理实际资料的结果很可能与真实情况存在较大偏差。为克服这一问题，可以利用高阶导数来实现。事实上，基于高阶导数的欧拉反褶积方法已有很多，例如AN-EUL法、Tilt-Euler法、梯度反褶积法[13]等。笔者则通过常规的和高阶导数的欧拉反褶积来研究分析方法的适用性问题。这里给出的是Hsu提出的垂向n阶导数的欧拉反褶积[16]，其形式为：

(9)

2 理论模型试算

为了分析常规欧拉反褶积和垂向导数的欧拉反褶积(文中均选用垂向一阶导数的欧拉反褶积)在叠加场源中的应用效果，建立了由简单到复杂、由齐次(球体)到非齐次(棱柱体)、由无噪到含噪的三个组合模型。文中所有模型体的剩余密度均为1.0 g/cm3。为了得到准确度更高的反演解，利用水平梯度滤波法、主体异常距离准则法和反演解聚散度准则法对反演结果进行筛选，去除错误或者孤立的反演解[8]。

图1 球体组合模型反演结果Fig.1 Inversion results of sphere combination model

2.1 球体组合模型

该模型是由两个大小相同，埋深不同的球体组合而成，球体1和球体2的中心坐标分别为(-2 km, -2 km, 2 km)、(2 km, 2 km, 1.5 km)，球体半径均为1.0 km，所引起的重力异常见图1(a)，网格间距为0.2 km×0.2 km。两种方法选择的移动计算窗口为5×5倍点距，图1(b)和图1(c)分别是常规欧拉反褶积和垂向一阶导数欧拉反褶积的反演参数解的平面位置；图1(d)、图1(e)和图1(f)分别是常规欧拉反褶积和垂向一阶导数欧拉反褶积反演点的深度统计直方图。从反演点水平位置可以看出，常规欧拉反褶积与垂向一阶导数的欧拉反褶积都能有效反演地质体质心的水平位置，但常规方法存在一定发散；垂向一阶导数的欧拉反褶积反演的水平位置与理论值吻合较好。从反演的埋深情况来看，常规欧拉反褶积方法在球体1、球体2上的反演误差分别为12.5%和9.3%，反演深度均小于理论埋深；而垂向一阶导数的欧拉反褶积在两个球体上的反演误差分别为3.5%和1.3%，均小于常规欧拉反褶积的反演误差。可见，对于简单模型，两种方法都可以有效反演场源位置，但相比之下，垂向一阶导数欧拉反褶积的反演精度更高。

2.2 长方体组合模型

长方体组合模型是由四个长方体组合而成，长方体1、长方体2的中心平面坐标为(-4 km, -4 km)，上下面埋深分别为(2.5 km，12.5 km)、(0.5 km，2 km)；长方体3、长方体4的中心平面坐标为(5 km, 5 km)，上下面埋深分别为(0.5 km，2 km)、(2.5 km，12.5 km)。其中长方体2位于长方体1正上方，长方体3位于长方体4正上方。长方体1的边长为8 km，长方体2、长方体3、长方体4的边长均为2 km。长方体组合模型引起的叠加重力异常如图2(a)所示，网格间距为0.2 km×0.2 km。图2(b)和图2(c)分别是常规欧拉反褶积和垂向一阶导数欧拉反褶积的反演参数解的平面位置，两种方法的移动计算窗口皆为9×9倍点距。图2(d)、图2(e)、图2(f)和图2(g)、图2(h)、图2(i)分别是常规欧拉反褶积和垂向一阶导数的欧拉反褶积在四个长方体上反演点的深度统计直方图。从反演点水平位置可以看出，由于异常叠加的影响，常规欧拉反褶积无法有效反演模型体2、模型体3或模型体4的边界位置(图2(b))，模型体2的反演解聚集于中心位置，模型体3或模型体4的反演解分布于模型体上、右边界位置。另外，模型体1的边界反演结果较发散，且在右上角产生少量虚假解；垂向一阶导数削弱了叠加异常的影响，使得欧拉反褶积反演点汇聚度得到提高(图2(c))，虽在模型体1右上角也产生少量虚假解，但依旧能有效反映模型体的边界位置。反演点埋深(图2(d)～图2(i))表明，相比于常规方法，垂向一阶导数欧拉反褶积反演点的深度值更集中，且接近模型体的上顶埋深；另外对于垂向叠加模型体3、模型体4，两种方法反演结果都是接近于模型体3的上顶埋深，无法反演模型体4的埋深位置。通过长方体组合模型可以发现，垂向导数的欧拉反褶积可以更好地突出弱异常信息，获得更为丰富的反演解，但不能识别规模相当、上下叠加的下方场源。

图2 长方体组合模型反演结果Fig.2 Inversion results of cuboid combination model

图3 含噪模型重力异常Fig.3 The gravity anomaly of noise model

2.3 含噪模型

含噪模型是由大小不同，埋深不同的三个长方体和一个球体组合而成。模型体1至模型体3为长方体，模型体4为球体，各个模型体的几何参数见表1。含噪异常是在理论叠加异常的基础上添加1%的高斯随机噪声，重力异常如图3所示，网格间距为0.25 km×0.25 km，欧拉移动计算窗口为13×13倍点距。

图4(a)和图4(b)分别是常规和垂向一阶导数的欧拉反褶积反演原始异常的水平位置。从反演结果来看，常规法反演的水平参数解十分的发散，无法准确圈定模型体的边界位置，反演的深度解也远小于模型体的实际埋深(表1)；垂向一阶导数的欧拉反褶积无法反演各模型体的水平位置和埋深，反演结果失效。因此，基于高阶导数的改进型欧拉反褶积比常规方法更容易受到噪声的影响。对于这种情况，通常是利用降噪滤波或者适当的向上延拓来降低异常中噪声的影响。作者选择向上延拓三倍点距的优化异常(后文统称延拓异常)测试两种方法的反演效果。图4(c)和图4(d)分别是常规和垂向一阶导数的欧拉反褶积反演延拓异常的水平位置，表1统计了反演解的埋深情况。反演结果表明，降噪处理可以明显改善这两种方法的反演效果。常规欧拉在反褶积反演埋深解的准确性得到提高，但其水平反演解依旧存在大量发散现象(长方体1的左边界、下边界以及球体4)，此外长方体2的边界位置也无法得到有效圈定；垂向一阶导数的欧拉反褶积虽球体4周围产生少量发散解，但可以准确的反演长方体1、长方体2、长方体3的边界位置和球体4的中心位置，此外，还可以有效反映模型体的埋深情况。可见向上延拓处理可以有效提高欧拉反褶积方法的反演效果和适用性。

图4 含噪模型平面位置反演结果Fig.4 Horizonal location inversion results of noise model

表1 两种方法反演的深度结果与理论值Tab.1 Depth inversion results of two methods and theoretical values

图5 相山布格重力异常及其处理结果Fig.5 Bouguer gravity map of Xiangshan and inversion results of Euler deconvolution

3 实际资料应用

相山铀多金属矿田是我国目前发现的最大火山岩型铀矿田[17]，相山盆地断裂构造较为复杂，主构造方向为NE向，NS向、近EW向及NEE向断裂同样较为发育[17-18]。相山盆地中心部位地表岩性比较单一，主要以低密度的碎斑熔岩为主；盆地基底主要为高密度的青白口纪变质岩，盆地外围四周均有出露；高密度的晚侏罗世砂岩砂砾岩呈现出明显的环形条带状分布。

图5(a)是网格点距为250 m的相山布格重力异常，图5(b)是重力异常的垂向一阶导数。由图5可以看出，布格重力异常(图5(a))整体上呈现的中心重力低、外围重力高，与低密度的碎斑熔岩及高密度的变质岩表现出了良好的对应关系，但重力异常中局部细节特征受区域场影响较大，因而难以清晰识别；而垂向一阶导数(图5(b))则较好地展示出了较多的异常细节特征，这也表明了地下地质情况十分复杂。利用常规欧拉反褶积方法和垂向一阶导数的欧拉反褶积对相山地区实测布格重力异常进行反演计算，反演结果分别叠置在图5(a)和图5(b)之中。其中为了降低噪声的影响，对原异常延拓一倍点距处理，欧拉计算窗口选择9×9倍点距。从结果来看，垂向一阶导数的欧拉反褶积能够有效压制场源的叠加干扰，比常规法反演出更丰富的地下信息，但受到一定的噪声影响，在局部地区出现发散现象；而常规法在异常特征变化明显的地方具有更强的连续性。因此，综合两种方法的反演结果可以为划分隐伏构造的位置、走向以及找矿工作提供借鉴作用。

4 结 论

欧拉反褶积方法是一种经济、方便、快速的位场反演方法，通过理论分析可知，影响欧拉反褶积应用效果的主要因素是场源叠加干扰。为了进一步的研究分析欧拉反褶积方法的适用性，通过三组模型试验和相山实测重力资料分别测试常规欧拉反褶积和垂向一阶导数的欧拉反褶积。实验结果表明，常规欧拉反褶积在齐次场源上方的反演结果较为理想，但在场源分布复杂，异常叠加干扰大时，反演效果较差；基于一阶导数形式下的欧拉反褶积则在较大程度上改善了常规欧拉反褶积的缺陷，能反演出更多的地下地质信息，但基于导数形式下的欧拉反褶积对噪声较敏感，需要采用诸如向上延拓技术的降噪处理才能获得良好的反演结果。在实际资料处理中，建议利用常规的和基于导数形式的欧拉反褶积分别对位场异常进行相应处理，并进行综合解释，以此提高方法的实用性。