一类广义非扩张映射的不动点性质

张少勇 朱鹏

摘 要：將W.kirk最著名的结果：具有正规结构自反的Banach空间关于非扩张映射具有不动点性质，推广到更加一般的映射形式，即：‖T（x）-T（y）‖≤a1（t）（d（x，y））‖x-y‖+a2（t）（d（x，y））‖x-T（x）‖+a3（t）（d（x，y））‖x-T（y）‖，其中∑3i=1ai（t）≤1，且ai（t）：（0，+∞）→（0，1）单调递减， 研究了具有正规结构自反的Banach空间关于上述映射具有不动点性质。

关键词：广义非扩张映射;正规结构;自反性;不动点性质

DOI：10.15938/j.jhust.2019.05.024

中图分类号： O177. 3

文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2019）05-0145-04

Abstract：In this paper， the most famous result by W.kirk is that the non-expansive mapping has the fixed point property in a Banach space with normal structure reflexive is extended to a more general form of mapping，namely：‖T（x）-T（y）‖≤a1（t）（d（x，y））‖x-y‖+a2（t）（d（x，y））‖x-T（x）‖+a3（t）（d（x，y））‖x-T（y）‖， where ai（t）：（0，+∞）→（0，1） monotone decreases， a reflexive Banach space X with normal structure has the fixed point property for the mapping mentioned above.

Keywords：generalized non-expansive mapping; normal structure; reflexive; fixed point property

0 引 言

1912年，德国数学家Brouwer在运用度理论在拓扑学的基础上，证明了关于连续单值映射的一个著名的不动点定理[1-6]。后来Schauder， Kakutani等人又相继对Brouwer的结果进行推广[7-9]。

不动点理论的研究一直都是数学研究的热门问题。许多年来，许多数学工作者通过各种方法不断丰富不动点理论，把单值压缩映射的不动点定理推广到多值映射的情况[10-15]。20世纪初，Banach提出了著名的Banach压缩映射原理。Banach压缩映射的一种自然推广是非扩张映射，R.de Marr得到了一个关于非扩张映射不动点理论的重要结果，它是著名的Kakutani-Marko不动点定理的推广[16-19]。此后不久，Brouwer，Kirk，Petryshyn分别讨论了定义在距离空间有界闭凸集上的非扩张映像不动点存在性，将其部分结果推广到平均非扩张映射的情形[20]。

1 预备知识

本文以X表示Banach空间。

定义1[21]  映像T：X→X，若存在x*∈X，使得x*=T（x*），则称x*为映像T的不动点。

定义2[22]  若C是X的非空有界闭凸子集，T：C→C。如果是指对于x，y∈C，有‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖，则称T为C到其自身的非扩张映射。

定义3 称Banach空间X具有不动点性质（FPP）是指定义在X每一个非空有界闭凸子集上的非扩张自映射具有不动点。称Banach空间X具有弱不动点性质（WFPP）是指X上的每一个弱紧凸子集的非扩张自映射具有不动点。

参 考 文 献：

[1] 崔云安. Banach空间几何理论及应[M].北京：科学出版社，2011：31.

[2] 陈汝栋. 不动点理论及应用[M]. 北京：国防工业出版社，2012，1：58.

[3] 张石生. 不动点理论及应用[M]. 重庆： 重庆出版社，1984.

[4] 姚永红， 陈汝栋， 周海云. 非扩张映象不动点的迭代算法[J]. 数学学报， 2007， 50（1）： 139.

[5] PATHAK H K， CHO Y J， KANG S M. An Application of Fixed Point Theorems in Best Approximation Theory[J]. International Journal of Mathematics & Mathematical Sciences， 2016， 21（3）： 467.

[6] CHANDOK S， KHAN M S， RAO KPR. Some Coupled Common Fixed Point Theorems for a Pair of Mappings Satisfying a Contractive Condition of Rational type Withoutmonotonicity[J]. International Journal of Mathematical Analysis， 2016， 7（9）： 433.

[7] L. C. ZENG， On the Existence of Fixed Points for Mappings of Asymptotically Nonexpansive Type[J]. J. Systems Sci. Complexity， 2004， 17： 188.

[8] 俞鑫泰. Banach空间几何理论[M]. 上海： 华东师范大学出版社， 1986： 1.

[9] GOCKENBACH M S， KHAN AA. Identification of Lame Parameters in Linear Elasticity： a Fixed Point Approach[J]. Journal of Industrial & Management Optimization， 2017， 1（4）： 487.

[10]KOHLENBACH U， LEUSTEAN L. Asymptotically Nonexpansive Mappings in Uniformly Convex Hyperbolic Spaces[J]. European Mathematical Society， 2007，12： 71.

[11]SHIMIZU T，TSKAHASHI W. Fixed Points of Multivalued Nonexpansive Mappings in Certain Convex Metric spaces[J]. Topological Methods in Nonlinear Analysis， 1996， 8：197.

[12]ABBAS M， NAZIR T. Fixed Point of Generalized Weakly Contractive Mappings in Ordered Partial metric Spaces[J]. Fixed Point Theory and Applications， 2012， 2012（1）： 1.

[13]KOVACS L G， WALL G E.Involutory Automorphisms of Groups of Odd Order and Their Fixed Point Groups[J]. Nagoya Mathematical Journal， 2016， 27（1）： 55.

[14]Z GU， Y LI. Approximation Methods for Common Fixed Points of Meannonexpansive Mapping in Banach Spaces[J]. Fixed Point Theory & Applications， 2008， 2008（1）： 471.

[15]梁嘉宁， 黎永锦. 平均非扩张映射的三种迭代收敛的等价性[J]. 内蒙古师大学报（自然汉文版）， 2011， 40（6）： 575.

[16]KIRK W A. A Fixed Point Theorem for Mappings Which Do Not Increase Distances[J]. American Mathematical Monthly， 1965， 72（9）： 1004.

[17]张石生， 黄发伦. 关于Banach空间中平均非扩张映象的不动点理论[J]. 四川大学学报： 自然科学版， 1975（2）： 73.

[18]GARCIA FALSET J. Stability and Fixed Point Fornonexpansive Mappings[J]. Houston Journal of Mathematics， 1994， 20（3）： 842.

[19]BETIUK-PILARSKA A，WISNICKI A. On the Suzuki Nonexpansive-Type Mappings[J]. Annals of Functional Analysis， 2013， 4（2）：72.

[20]BENAVIDES T D. A Geometrical Coefficient Implying the Fixed Point Property and Stability Results[J]. Houston Journal of Mathematics， 1996 ， 22（4）： 835.

[21]J M Wang， LL Chen， Y A CUI. The Fixed Point Property of Mean Nonexpansive Mapping[J]. Journal of Natural Science of Heilongjiang University， 2006， 23（3）： 298.

[22]Z ZUO. Fixed Point Theorems for Meannonexpansive Mappings in Banach Spaces[J]. Abstract and Applied Analysis， 2014， 2014（13）： 1.

[23]BETIUK-PILARSKA A， BENAVIDES T D. The Fixed Point Property for Some Generalized Nonexpansive Mappings and Renormings[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2015， 429（2）： 800.

[24]KIM JK，PATHAK R P， DASHPUTRE S， et al. Fixed Point Approximation of Generalized Nonexpansive Mappings in Hyperbolic Spaces[J]. International Journal Journal of Mathemtics and Methematical Sciences， 2015， 2015：6.

[25]KRIK W A. Non-expansive Mappings in Product Spaces， Set-valued Mappings and K Uniform Rotundity// Browder F E. Nonlinear Functional Analysis and Its Application. Amer. Math. Soc. Symp. Pure Math， 1986， 45：51.

（編辑：王 萍）