重心下移促参与，结构教学助迁移

☉山东省淄博市临淄区教学研究室 杨静霞

新基础教育提出初中数学学科教学的特征“结构关联地教，互动生成地长”，因此本设计首先根据学生成长的长程进行整体性系统策划和关联性结构教学，学生在整体感知的基础上，整体占有知识，在经历解决问题、遭遇困难的过程中主动发现，逐步形成了学习的方法结构，然后把方法类比迁移，自觉运用到研究其他同类的问题中去，起到举一反三、触类旁通的作用，最后设计的微课程，则以集合的思想渗透了直线与点的关系.

一、设计说明

跟随吴亚萍教授学习了“长程两段：教结构、用结构”“三放三收”“重心下移”等新基础教育的课堂教学理念，遵循这些先进的理念，我对鲁教版《义务教育教科书·数学》七年级上册“正比例函数的图像与性质”的课堂教学做了贴地式实践教学研究，此课堂教学得到了华东师范大学吴亚萍教授的指导，我在此基础上又进行了创新，把直线与点的关系做了更加深入的探索，现在把教学实践成果与大家共享.

二、理念体现

1.重心下移1：整体感知，巧分类

活动1：整体进入，讨论常数k的取值.

（1）思考并回答：你认为k都可以取什么样的数呢？

（2）为了更好地研究正比例函数，现在我们要选出一些特殊的、具有代表性的正比例函数，根据k的可能取值，你认为哪些正比例函数比较特殊，便于我们研究且具有代表性呢？

师生行为生成：学生口答k的取值范围，互相补充完善，认识到k可取正整数、负整数、正分数、负分数等，并对应得到正比例函数解析式y=x，y=-x，y=2x，y=-2x，y=x等.在教师的引导下，学生对k的取值范围进行有序定性分类.

设计意图：整体感知k的取值范围，并对应得到特殊的正比例函数的解析式，通过对k赋值感受初始的研究既要简单又要有代表性，研究的辐射区域尽量全面.通过对k的取值进行分类，为下一步研究提供素材.

教学点评：活动1是本节课的“一放一收”，放的是“开放举例”，收的是“典例分类”.通过枚举k的取值，由k的取值得到特殊的正比例函数，如y=x，y=-x，y=2x，y=x等，进而对k进行分类，为下一步从学生的枚举中选择最简单、最基础的来研究奠定基础，体现了学生立场和以学定教的教学思想.

2.重心下移2：个例研究，教结构

活动2：尝试画图像.

由前面对k赋值的研究，我们知道当k=1时的正比例函数y=x最简单.下面首先实践操作：尝试画一画y=x的图像.

（1）列表：根据正比例函数的解析式，填写表1：

表1

（2）描点：分别以所取x的值和相应的函数值作为点的横坐标和纵坐标，并在平面直角坐标系上画出这些坐标所对应的点.

（3）连线：用光滑曲线（包括直线）把描出的这些点按照横坐标由小到大的顺序连接起来.

教师进一步追问：在画图像的过程中，你都有哪些发现？

师生行为生成：学生填写表格，进而得到点的坐标，然后在平面直角坐标系中描点、连线.对于出现的问题，学生评价、纠错、补充、完善.教师对学生出现的问题进行点拨，比如，自变量x的取值不全面，如只取正整数或只取负整数；取值无序，导致观察到的图像只经过一个象限；将描好的点用线段连接，得不到函数图像是直线这一特征等.学生主动观察，发现图像特点并尝试用语言描述：正比例函数的图像是直线，经过一、三象限（位置）；除此之外，正比例函数的图像还经过原点（特殊点）；y随x的增大而增大（增减性）.

设计意图：通过对x的取值的讨论，在学生陈述观点的过程中，帮助全班学生对自变量x的取值要兼顾对称性、代表性、无限性、有序性形成共识；通过画出正比例函数y=x的图像，发现图像的形状是一条直线，为下一步观察并总结性质奠定基础.有层次地推进是为了帮助学生从图像的形状、位置、特殊点、增减性四个维度对函数的性质有整体认识，并锻炼用语言表达的能力，初步理解掌握正比例函数性质的研究方法.

教学点评：活动2是本节课的“二放二收”，“二放”的目的是让学生直面困难，“二收”的目标是顺藤摸瓜.学生遇到的第一个困难就是列表时x如何取值，本节课设计让学生直接独立完成，目的是让学生遭遇困难，学生可能无序、可能局限、可能无典型意义，针对学生的问题，教师引导学生，从而收获x的取值要有代表性、对称性、无限性、有序性.

3.重心下移3：枚举研究，用结构

活动3：（1）多向探究.

在原来的平面直角坐标系中继续画出y=-x的图像，组内分工合作，再选取k为正整数、负整数、正分数、负分数中的各一个来完成，你发现其他的正比例函数有怎样的特征？

（2）对比研究.

观察y=x和y=-x这两个函数图像，对比它们的异同点，并尝试用语言叙述.

小组有序分工，画出更多的正比例函数的图像，在画出图像的过程中，对k是分数时，若x仍然选取整数，则函数值为分数，不容易描点，产生困惑，激发学生主动思考选取点的坐标时是有技巧的.

师生行为生成：学生主动归纳，师生互动补充完善得到以下结论.两函数的图像相同点：都是直线，都经过点（0，0）；不同点：经过象限不同，增减性不同.两函数的联系：两函数的图像关于x轴对称，关于y轴对称，关于坐标原点成中心对称.

设计意图：帮助学生在已有认识及研究方法框架的支持下，通过自主探究得到正比例函数图像的特征，为归纳性质奠定基础.通过对比、概括归纳，形成完整的知识体系，学会研究的方法（个例研究与枚举研究的关联），体会数形结合思想，培养学生数学交流的习惯.

教学点评：活动3是本节课的“三放三收”，个例有限，猜想无限.仅仅观察一个正比例函数得到的结论是有局限性的，因此从个例研究到枚举研究，从k＞0到k＜0，从组内学生的分工合作，不完全归纳得出正比例函数的图像与性质.

4.广泛验证

教师利用几何画板作出不同k值的正比例函数图像，说明正比例函数图像的直线上有无数个点，直线上每个点的坐标都与函数解析式一一对应.

师生行为生成：学生认真聆听几何画板的演示解读，仔细看不同的解析式得到的图像，用心想图像之间的联系，主动在组内展开质疑交流.

设计意图：通过几何画板的展示，实现从用手描点连线到几何画板的动态生成，进一步体会点与线的关系，学会不完全归纳法.帮助学生在已有认识及研究方法框架的支持下，通过自主探究得到正比例函数图像的特征.

教学点评：此环节技术助力，力求技术与教学高度融合，采用了几何画板的动态显示功能，显示了k任意取值得到的正比例函数的图像都为一条直线，化有限为无限，突破了本节课的重、难点，增强了说服力.

5.归纳提升

观察以上正比例函数的图像，归纳总结y=kx（k是不等于0的常数）的性质.

师生行为生成：学生从图像的特征发现性质，从而表达出函数所具有的性质，是一个从直观到文字语言再到符号语言的过程.并对比k的两种不同的取值导致的图像变化规律，用语言描述知识之间的联系与区别，实现正比例函数性质的一般化.

设计意图：通过对学生枚举和教师用几何画板验证的正比例函数图像的研究，促进学生掌握从四个维度即形状、位置、特殊点、增减性进行有序研究的方法，利于形成系统的知识结构，并促进学生之间的流畅交流.

教学点评：此环节主要采用分层推进、方法渗透的形式，归纳了“三步、四维、四法”.“三步”指的是在学习的过程中学会了如何研究问题，画函数图像的步骤：列表、描点、连线三步走.“四维”指的是学会了：从形状、位置、特殊点、增减性四个角度观察图像，总结出正比例函数的性质.“四法”指的是课堂中渗透的数学思想方法：类比研究、分类讨论、个例枚举、数形结合，提升了学生的学科素养.在学习的过程中，学生的数学运算能力、数学建模能力、直观想象能力等都得到了不同程度的发展.

6.微课导学

认识描点法画函数图像，感受描点法画图像的科学依据，初步理解集合的思想.

师生行为生成：跟随微课程，体悟点与直线的关系，让思维从点的有限延伸到直线的无限.

设计意图：体会正比例函数的图像中直线与点的关系，为今后学习集合的思想奠定基础.

教学点评：追根溯源是这节课的画龙点睛之笔.在说明为什么正比例函数的图像是直线这一环节，则为学生提供了微课程引导学生进一步思考描点法画图像的科学依据，抓住学生在画图像过程中产生的困惑，引导学生深入探究，揭示正比例函数的图像是直线的渊源，形成解决新问题的策略与方法.

三、目标达成

本节课教与学有效互动，信息技术支持得当.在课堂教学中，白板很好地支持了课堂教学中教与学内容的展示，几何画板为学生深刻理解正比例函数的图像是一条直线立下了汗马功劳；微课程为引导学生深入研究集合的思想奠定了良好的基础.在教学的过程中，较好地发挥了学科育人的价值，数学课堂主要以培养学生的逻辑思维能力为主，以提升学生的核心素养为终极目标.教是为了更好地学，从学生的问题出发，由学生提出问题，利用学生的材料资源进行分类研究，充分体现“长程两段”的教学理念：教结构、用结构.在课堂中不仅锻炼了学生的分类能力、动手画图能力、数形结合能力、归纳概括能力，还实现了研究方法的迁移，为今后学习其他函数提供了研究方法.课堂中从学生的困难入手，把问题真正地放下去，教师做到收放自如，有效收集学生的资源，让知识一点点地长出来，使得目标越来越清晰，知识越来越有条理，课堂中锻炼的是学生的思维，发展的是学习的能力，培养的是流畅的表达，发挥的是课堂的育人价值，在每个环节，都留下了学生思考交流、思维碰撞的痕迹，是一节有效提升学科核心素养的好课.