基于问题解决认知过程分析的教学研究——以“实际问题与二元一次方程组——检验估计”为例

☉江西师范大学数学与信息科学学院 李 菁

☉江西师范大学数学与信息科学学院 刘锡光

一、引言

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出“课程内容要符合学生的认知规律；学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程［1］”.即要求教师在教学中要同时关注学生学习的结果和过程.

不少学生反映小学时就对应用题束手无策，年级越高题目中的数量关系越复杂，以致不少初中生遇到应用题时题目都不看就直接放弃，这是导致学生数学成绩不好的重要原因.因此笔者试图运用ACT-R理论分析学生解答应用题的认知过程，通过设计适合学生认知过程的教学方案让学生更自然地掌握教学内容.

二、ACT-R理论概述

ACT-R（Adaptive Control of Thought-Rational）理论是由卡耐基梅隆大学教授John Robert Anderson提出的一种试图阐述人类如何获得和组织知识，以及如何产生智力活动的认知理论.该理论的基本观点是：复杂认知是由相对简单的知识单元所组成的，而这些知识单元是通过相对简单的原理获得的［2］.它将知识分为陈述性知识（是什么）和程序性知识（怎么做）两类，程序性知识其实是提取陈述性知识的指令，称为产生式.

图1 ACT-R的symbolic系统的内部结构

ACT-R系统包括symbolic系统和sub-symbolic系统.能够显性表现出来的symbolic系统结构如图1［3］所示（矩形表示功能模块，椭圆表示缓冲块）.它由六个基本模块组成，产生式模块通过产生式规则操作各个模块的缓冲块，从而联合了其他所有模块.

三、问题解决认知过程分析

（一）模型结构介绍

ACT-R认知模型包括视觉模块（Visual Module）、映像模块（Imaginal Module）、陈述性知识模块（Retrieval Module）、目标模块（Goal Module）、产生式模块（Production Module）、输出模块（Manual Module）等六个模块.

视觉模块：感知问题，保留问题原形；

映像模块：储存当下问题或目的的表现形式或状态；

陈述性知识模块：在长时记忆中检索相关信息；

目标模块：记录或跟踪问题解决过程中的目的；

产生式模块：激活能解决当前问题的产生式规则并作用于相应信息块；

输出模块：经过操作运算获取结果并输出.

（二）分析内容选取

本文选取人教版七年级下册第八章8.3节第1课时的课本例题：养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约需用饲料675kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约需用饲料940kg.饲养员李大叔估计平均每头大牛1天约需用饲料18kg～20kg，每头小牛1天约需用饲料7kg～8kg.你能通过计算检验他的估计是否正确吗？［4］

（三）认知过程分析

上述例题问题解决的认知过程如表1所示：

（四）教学过程

1.创设情境，复习引入

教师展示世界杯足球赛和足球的图片，提问：同学们喜欢踢足球吗？观看过世界杯比赛吗？观察过足球的表面由什么形状构成的吗？

表1“实际问题与二元一次方程组——检验估计”问题解决的认知过程

教师给出题目：足球表面由一些正五边形和正六边形的皮块缝合而成，共计32块，已知正五边形块数比正六边形块数的一半多2块，问：两种皮块各有多少？

教师带着学生回顾用方程组解决问题的步骤，按步骤解答上述问题.

2.探索分析，解决问题

师：前面我们结合实际问题，回顾了用方程组解决简单实际问题的过程.本节我们继续探究用方程组解决实际问题.

探究1：长18米的钢材，要锯成10段，而每段的长只能取“1米或2米”两种型号之一，小明估计2米的有3段，他的估计是否正确？为什么？（可让学生交流讨论）

方法1：假设估计正确，检验是否符合条件.（算术法）

①2×3+1×（10-7）=13≠18；

②（18-2×3）÷1=12≠（10-3）.

上述方法是小学的算术法，我们最近学习的新知识能不能解决它呢？（引导学生联想到借助二元一次方程组）题目问题是“你们认为他的估计是否正确”，我们如何判断这个估计是否正确呢？小明的估计是2米钢材有3段，若我们能知道2米钢材有几段就好了.我们能否利用已知条件计算出2米钢材的段数？

方法2：根据题中条件求出两种型号钢材各有多少段（或只求2米钢材的段数），再判断估计是否正确.（方程法）

教师对学生一题多解的行为表示赞扬之后，提问哪种方法更简单，大多数学生会回答方法1，此时可能有学生会有疑问：既然方程法比算术法麻烦，为什么要学习用方程组解决实际问题呢？于是引出教材中的例题.

探究2：上述例题.

同学们尝试用方法1解决此问题.（使学生感受到有些题算术法不适用）接着再用方法2，教师引导：题目中估计了两个量，应假设两个未知数表示这两个量；题中有哪些已知量？结合未知量，有怎样的数量关系？采用请学生填空的方式得到两个等量关系：①30头大牛1天所需饲料+15头小牛1天所需饲料=原来1天的饲料总量，②42头大牛1天所需饲料+20头小牛1天所需饲料=现在1天的饲料总量.

请同学们将等量关系用数字符号表达出来，列出方程组.解方程时请同学们认真计算，鼓励学生灵活交错使用代入法和加减法解方程组.

再请同学们思考：以上问题能列出不同的方程组吗？解是否一致？

检验可知方程组的解即实际问题的答案，得到大牛、小牛实际1天所需饲料量，回答问题时别忘了原题是问估计是否正确，因此要比较答案和估计范围后再回答问题.

解：设每头大牛和每头小牛1天各需用饲料xkg和ykg.

答：每头大牛1天约需饲料20kg，每头小牛1天约需饲料5kg.因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高.

3.思考回顾，归纳总结

（引导学生一起总结）回顾一下刚才的解题过程：首先有一个待解决的实际问题，我们通过转化问题形式，找出未知量、已知量及数量关系，列出方程组，即将实际问题转化成了数学问题，解方程组后就得到数学问题的解，经验证，符合实际意义的解即为实际问题的答案.这样的过程我们称为“数学建模”.

4.简单应用，巩固提升

刘老师购买运动会的奖品后，向总务处李主任交账时说：“我买了两种书共105本，单价分别为8元和12元，我领了1500元，现在还剩418元.”李主任计算后说：“你肯定搞错了.”李主任为什么说他搞错了？

分析刘老师是哪里错了：由题意可知他花了（1500-418）元买了单价为8元和12元的书共105本，这两种书各买了多少本？能求出来吗？假设8元的买了x本，12元的买了y本，得到等量关系：①8元书的数量+10元书的数量=书本总数，②8元书的总价+10元书的总价=所花总钱数.由此可得解完方程组，接下来呢？检验.x、y的值是小数，不符合实际意义，故刘老师的话一定出现了错误.

5.课堂小结，思想升华

通过这节课的学习，大家有什么收获？

二元一次方程组可以帮助我们解决许多实际问题；如何将实际问题转化为数学问题；什么是数学建模……

四、教学启示

分析学生的认知过程可以帮助教师更好地了解学生学习过程中可能遇到的困难，掌握学生的学习情况，并根据学生的实际情况设计教学方案.比如，检验估计问题中没有直接提问要求的量，学生解题时可能找不到未知量，因此可设计题型类似但难度更低的题目为学生提供可参照的范例，同时帮学生建立信心.

同时考虑具体的教学内容和学生的认知特点两方面来设计引导问题，有助于学生在认知过程中快速形成正确的产生式规则.例如，为了让学生能更顺利地发现探究2中的未知量，笔者先设置了更简单的探究1；探究1中两种解法对应两个产生式：检验估计→假设估计正确加以验证；检验估计→求出估计的实际值，而前者适合估计为准确数值类型，后者适用于估计为大致范围类型.

相关研究表明，策略的准确性是影响学生解题策略选择的因素，且学生总倾向于用自己认为好的方法解决问题，而不是教师所教授的方法.因此笔者认为让学生在课堂上使用他们喜欢的方法，待发现效果不好甚至错误后再进行正确方法的引导和教学，能使学生印象深刻且更愿意接受教师的方法，教学效果会更好，因此有探究2先让学生尝试用方法1的设计，同时能凸显方程法的优势.

五、结语

文中的不足在于“检验估计”问题解决认知过程是笔者依据ACT-R理论的认知观针对这一具体问题进行的教学分析尝试，只是从表层开展模拟验证，更多停留在理论阶段；设计的教学过程尽管在实际教学中实施过，但由于未做课前测试或对照试验，缺乏效果对比的验证，因此接下来的研究将对学生认知开展更规范的模拟实验，进一步将上述教学设计应用于教学实践，并编制问卷测试实验效果，以验证本研究的真实性，在此仅抛砖引玉，企盼得到大家的指正.