解读辅助角公式的应用

■薛佳彬

在三角函数中，辅助角公式asinθ+其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tanφ=确定。它在三角函数中的应用比较广泛，下面分别举例说明，以供同学们参考。

一、求三角函数的值域或最值

例1已知函数，x∈R（其中ω＞0），求函数f（x）的值域。

解：1。由，得 -3≤所以函数f（x）的值域为[-3，1]。

点评

本题先将函数f（x）化为y=Asin（ω x+φ）+k的 形式，再利用三角函数的有界性求值域，其解答过程简洁有效。

跟踪练习1：求函数y=2 sinx（sinx+cosx）的最大值。

提示：y=2 sinx（sinx+cosx）=2 sin2x+2 sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1+因为，所以函数y的最大值为

二、求三角函数的单调区间

例2求函数cosx+1的单调区间。

解：

点评

先将原函数化为y=Asin（ω x+φ）+k的形式，再利用复合函数的单调性求解，达到快速解答的目的。

跟踪练习2：已知函数f（x）=，求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间。

提示：由题设可知，则

三、求三角函数的周期

例3函数y=cos22x+4 cos 2xsin 2x的最小正周期是____。

解：y=cos22x+4 cos2xsin 2x=所 以 函数y的最小正周期

点评

将已知三角函数式化为y=Asin（ω x+φ）+k的形式后，就可以用周期公式来解决问题了。

跟踪练习3：已知函数，求函数f（x）的最小正周期。

提示：因为所以f（x）的最小正周期

四、判断三角函数的奇偶性

例4已知函数判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由。

解：因为且g（x）=所以所以g（-x）=故函数g（x）是偶函数。

点评

讨论函数的奇偶性，其前提条件是函数的定义域必须关于原点对称。否则，即使有f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x）成立，函数也是非奇非偶函数。

跟踪练习4：若函数是奇函数，则φ为____。

提示：因为f（x）是奇函数，所以即又因为0＜φ＜π，所以

五、求三角函数式中字母的值

例5如果函数y=sin 2x+a·cos 2x的图像关于直线对称，则a的值为____。

解：（其中tanφ=a）。因为是对称轴，所以直线过函数图像的最高点或最低点，即当时或所以即，解得a=-1。

点评

先用辅助角公式将已知的三角函数式化为y=Asin（ω x+φ）+k的形式，再利用三角函数的性质来求解，整个解题过程简捷有效。

跟踪练习5：如果函数的最大值为2，则a的值为____。因为函

提示：其中数f（x）的最大值为2，所以解得

六、解决有关函数图像的变换问题

例6已知函数f（x）=sin2x+则函数f（x）的图像可由函数y=sin2x的图像经过怎样的变换得到?

解：

（方法一）先把函数y=sin2x图像上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图像；再把所得图像上的所有点向上平移个单位长度，就得到函数的图像。

（方法二）把函数y=sin2x图像上的所有点按向量平移，就得到函数的图像。

点评

解答本题时，首先，要利用辅助角公式化简函数f（x）；其次，要弄清图像变换是看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少。如将函数y=sin 2x图像上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图像，而不是函数y=的图像；再如，将函数y=图像上所有点的横坐标缩短到原来的得到函数的图像，而不是函数的图像。

跟踪练习6：已知函数则函数f（x）的图像可由函数y=sinx的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?

提示：f（x）

首先，把函数y=sinx图像上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y=的图像；其次，把得到的图像上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图像；再次，把得到的图像上各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），得到函数的图像；最后，把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数的图像。

编者注：辅助角公式在解决有关三角函数的性质、图像变换等问题时都具有非常重要的作用，它主要是把形如y=asinx+bcosx的三角函数式化为一个角的一种三角函数式，达到顺利解答问题的目的。同学们在学习中，要用心探讨课本中的例题，才能感悟出其中的真谛。通过归纳整理，可以避免盲目低效率的大量重复做题，从而提高学习效率。