分数阶微积分在图像增强中的应用研究

郭金峰

[摘           要]  分数阶微积分与传统的整数存在形式微积分定理有着较大差异。分数阶微积分不同于普通的数学知识，分数阶微积分在图像增强中发挥着较大的作用。在图像边缘纹路处理工作开展过程中，为了能够提高图像处理工作的效果，分数阶微积分在图像处理中的应用越来越广泛。针对分数阶微积分在图像增强中的应用进行了研究。

[关    键   词]  分数阶微积分;图像增强;应用

[中图分类号]  O172                   [文献标志码]  A                      [文章编号]  2096-0603（2019）31-0258-02

图像是记录和传递信息的重要方式，由于受多种原因的影响，在图像传递过程中图像的清晰度以及质量会逐渐下降，这就导致人们在多次传递图片进行分析时带来一定困难。所以，在这种情况下图像增强就成为图像处理的重要组成部分。大部分情况下导致图像难以识别是因为图像的边缘和纹理等细节信息被破坏，引起视觉模糊，从而导致人们认不清图像中的内容。为了使人们能够重新接受受损图片的信息，扩大图像中物体的特征，需要利用分数阶微积分对其进行计算，以此实现图像增强。

一、分数阶微积分在图像增强中的应用研究背景

在此之前，人们提出了很多的图像增强算法，比如以直方图为基础对图片进行增强，或者以空域为基础进行计算，但是基于空域的传统整数阶微分方法增强图形的文理信息，最终微分结果为零，这种形式的计算根本无法实现图像增强。

就现阶段状况来看，分数阶微积分理论能够很好地实现图像增强，所以说分数阶微积分能够从更深程度对图像进行计算。通过对分数阶微分的相关理论分析，我们发现在对一些数据信号进行分数阶微分运算过程中，当最终结果小于1时，能够实现图像增强。能够出现的原因在于当微分阶次小于1时，信号的高频分量会得到提升，低频分量的信号也能够得到加强，与此同时，信号的甚低频没有出现大幅度衰退现象。由于微分阶次小于1，所以在实现图像去噪的过程中保留了图像原来的边缘和纹理，这些细节信息的保留使得图像能够将原来的信息显现出来，从而实现图像增強。分阶微积分在图像增强中的应用研究中，重点在于分数阶次以及模板窗口大小，不同的分数模板窗口可以划分为不同的小模板，通过计算得出职工心像素点周围四个方向的加权和的最大值作为该中心像素点的增强值，这样就能够增强图像的边缘信息和纹理细节，从而加强原图像的细节信息，实现图像增强。

二、图像增强技术概述

对于一个人来说，视觉是其接收和传递信息的主要通道之一。而当人通过视觉接收信息时大多数情况下是通过图像对其进行接收。但是在通过图像接收信息时我们会发现很多图像在传输过程中会受到不同程度的损坏，从而导致很多图像由于对比度不够、清晰度不够等问题无法实现信息的传达。这使人们无法通过图像接收实际生活中的一些信息，而图像增强处理很好地解决了这一问题，这使图像增强处理逐渐受到了越来越多的关注。

图像增强指的是通过一些技术手段对原图的信息进行变换，针对图像职工的内容将其中感兴趣的部分凸显出来，改善图像质量，使其中的信息充分展现出来，以此达到改善图像的视觉效果的目的，从而充分地实现图像增强。在改善原图像信息过程中大多是对图像边缘的信息进行增强，通过图像锐化实现图像增强。近年来，对分数阶微积分的研究逐渐增多，因此分数阶微积分逐渐被应用到了数字图像处理当中，并且受到了越来越多的关注。

三、图像增强的应用

分数阶微积分在图像增强中的应用研究之所以受到越来越多的重视，最主要的原因在于图像增强的应用越来越广泛，并且图像增强的应用价值正在不断提高，涉及领域也在不断扩大。（1）军事公安方面，图像增强技术在很多案件中被用作证据识别，或者是通过图像增强技术改善证据视频的清晰度。除此之外，图像增强还能够应用到指纹的图像增强中，这对促进案件的进展有非常大的作用。（2）大气科学，在气象观测过程中会受到雾霾或者恶劣天气的影响，这种情况下就可以利用图像增强技术对卫星图像进行增强，恢复图片的清晰度。（3）天文学，在天文学研究过程中难免会遇到光线污染，针对这种情况需要通过图像增强技术对图像进行锐化，增强对比度。（4）帮助视障人士，一些能够有效提高图片和影像的图像增强技术能够帮助视障人士观看视频，提高其面部识别能力。（5）文物修复，很多历史文物经过千百年的时间会出现一些损坏，相关工作人员就可以利用图像增强技术对其进行恢复。尤其是历史绘画，可以通过图像增强的方式对绘画进行修复，有利于历史文物的传承。

四、分数阶微积分的基本概念界定

（一）分数阶微积分的基本概念界定

就当前的状况来看，数学研究者并没有针对分数阶微积分给出一个明确的定义，这就导致很多学者在研究分数阶微积分过程中会从各个不同的角度进行研究，因此最终的概念界定会存在较大差别。通过总结我们发现在世界范围内有关分数阶微积分提出的研究主要有三种存在形式，GL微积分概念定义形式、RL微积分基本概念的界定以及CP基本微积分构成，这三种分数阶微积分是目前来看应用频率较高的分数微积分概念的界定方法。

（二）分数阶微积分方程式的分类

由于分数阶微积分概念存在较多不同，所以在实际运算过程中能够供人实用的计算方式多种多样。在众多计算方程式之中将时间分数阶参数作为参照依据组建而成的方程式相对较为特别。与传统微积分方程式的构成模式相比较而言，这种微积分方程的框架能够更好地处理时间与空间数据，能够更好地应用到图片增强当中。新型微积分计算方式适当融合了热传导以及流线传导数据的统计，能够促进分数阶微积分在图像增强中的应用。

五、分数阶微积分在图像处理中的应用

（一）数字图像增强

分数阶微积分对图像的增强方式就是对其空间域进行增强，空间域并不是单纯指人类生活的空间，而是指图像平面所在的二维空间。空间与图像增强指的是利用数学模型改变图像像元灰度值，此種增强方式能够增强图片的清晰度但并不会改变像素的位置。空间域增强指的是空间变换增强以及空间滤波增强。

1.空域变换增强

在空域变换增强中有三种主要的增强方式：对比度增强、直方图增强和图像算数运算。首先，对比度增强指的是通过改变图像原来的亮度分布转光来实现，主要是扩展灰度分布器件以及改变图像各个位置像元的对比度，以此来实现图像增强。在对比度增强过程中常用的一种方式是对比度线性变换和非线性变换。另外一种是直方图增强，直方图增强可分为直方图均衡化和直方图规定化两种形式。其中直方图均衡化是将图像的灰度区间利用概率分布代替原来的随机分布，从而使图像不同灰度之间的像元数目保持相似。直方图均衡化能够增强地物细节，减少灰度等级对比度的增大。而直方图规定化是将原图像的直方图变换成一种指定形式，之后按照已知的形态进行调整。这种方法需要有一幅正常的图像作为标准，从而实现图像增强。

2.空域滤波增强

通过应用分数微积分图片处理工作人员能够通过计算构建滤波器件，滤波器件的构建很大程度上提高了图像处理工作的实践性。假设二维图像信号的形式为A（x，y）对X和Y轴方向的分数阶微分在一定条件之下它们是可以分离的。这一状况就代表着分数阶微积分能够利用算子对数字图形的各个方向进行滤波处理，在利用滤波器件处理完这些信息后，可以将中间的结果进行有规则的结合，通过结合改善图像原有的数据，进一步实现图像的增强。

（1）梯度法

图像的梯度指的是像元灰度的亮度变化，图像的边缘一般具有较大的梯度值。对于亮度值变化较小的部分梯度值也会较小，所以找到梯度值较大的区域就能够找到图像的边缘。对边缘地带的梯度值进行计算以此替代边缘的像元值，从而实现图像的锐化。

（2）拉普拉斯算法

这种方式与梯度法存在较大的差异，拉普拉斯算法注重变化率，相当于二阶微分，利用这种方式检测出的图像能够更加突出亮度值的变化位置。

（3）定向检测

在对图像进行有目的的检测时，可以根据图像的边线即文理特征选择特定的模板进行定向检测，利用不同的模板进行检测可以达到检测图像垂直边界、水平边界以及角线边界的目的，这对实现图像增强有着很大的影响作用。

（二）图像频域性质

一般情况下图像主要分为两种形式，一种是根据人类需要人类自己制造的图像，还有一种则是自然图像。自然界图像中的大部分图像都属于低频图像，所以在利用分解微积分设计分数微分器的频谱时过低频部分与理想频谱越接近那么相对的图像增强的效果也会越来越好。在观察频谱过程中可以寻找一些图像作为对比。

如图中彩色照片的频谱我们可以看出其中低频分布较多，大部分情况下以自然风光为主的图像都属于低频较多，但是也不乏自然图像中高频较多的图像。另外，也存在高频较多的图像。分数微分器在对图像的频率进行响应过程中属于在低频部分能够与理想的分数微分器频率响应较为接近，对应的分数微分器在高频部分存在的误差会比较大。

（三）RGB色彩空间图像增强

利用分数阶微分模板使用RGB的色彩空间对图像进行处理，利用RGB三个分量分别对图像进行处理，之后再分别加入原图的这三个分量中。在实际的处理中我们会发现随着不同阶次微分的处理，阶数的增加会增强图像的退化效果，图像的细节会更加清楚，但是当结束大于0.5之后，图像的强度会逐渐减小。

六、结语

综上所述，分数阶微积分在图像增强中的应用越来越广泛，即使如此，我们也不应该放松，还需要不断对分数阶微积分进行研究，通过研究发现更多图像增强的方法，从而促进分数阶微积分的发展，使其不仅能够在图像增强中发挥作用，还能够在更多的地方发挥应有的功能。

参考文献：

[1]刘峰瑞.基于自适应分数阶阶次的图像增强和图像匹配[D].南昌：南昌航空大学，2017.

[2]杨卓东.分数阶微积分在图像处理中的算法研究与改进[D].贵阳：贵州大学，2017.

[3]谭礼健.基于阶数自适应的分数阶偏微分方程的图像去噪与增强研究[D].重庆：重庆邮电大学，2017.

[4]孙晓旭.基于分数阶微积分的图像去噪和图像配准方法研究[D].南昌：南昌航空大学，2016.

编辑 武生智