分式方程有增根与无解的关系辨析

湖北省黄冈思源实验学校 蔡艳生

分式方程有增根与无解是分式方程中常见的两个概念，也是一些地区中考、自主招生考试中常见的考点。学生在学习分式方程后，常常对分式方程有增根与无解这两个概念混淆不清，认为这两者是同一回事，事实上并非如此。因此，帮助学生厘清分式方程有增根与无解这两者之间的关系十分有必要.

分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程化为整式方程的过程中，方程的两边都乘了一个使最简公分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值，即分式方程的增根必须满足两个条件：（1）增根使最简公分母为零；（2）增根是分式方程化成整式方程的根。而分式方程无解包含两种情况：（1）分式方程化成整式方程后，整式方程无解；（2）分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但均为原分式方程的增根。因此，解分式方程最后必须要验根。举例说明如下：

例1：【凉山州中考题】关于x的方程无解，则m的值为（ ）

A.-5 B.-8 C.-2 D.5

解：方程两边都乘以最简公分母（x+1），

得：3x-2=2(x+1)+m，解得：x=m+4。

∵该整式方程有解，而原分式方程无解，

∴x=m+4必定是原分式方程的增根，

即x+4=-1，∴m=-5。故本题答案为A。

【探究1】若将例1中的“无解”改为“有增根”，例1的答案并不发生改变。

【辨析】例1和探究1的答案相同，是因为该分式方程化为整式（一元一次）方程后，整式方程未知数不含字母系数，有唯一解。

A-1.5. B.1 C.-1.5或2 D.-0.5或-1.5

解：方程两边都乘以最简公分母（x-3）x，

得：（2m+x）x-（x-3）x=2（x-3），

整理得：（2m+1）x=-6。

①当（2m+1）=0，即m=-0.5时，整式方程（2m+1）x=-6无解，则原分式方程无解；

②当（2m+1）≠0时，整式方程的解为要使原分式

方程无解，则x=3或x=0。

综上所述：m=-0.5或m=-1.5,故本题答案为D。

【探究2】若将例2中的“无解”改为“有增根”，从例2的解答过程可知①不符合本题要求，最后只能取，答案就是A。

【辨析】例2和探究2的答案不同，是因为该分式方程化为整式（一元一次）方程后，整式方程的未知数含有字母系数（2m+1），对（2m+1）是否为零需要分类讨论，因此会产生两种不同情况。

A.1或-3 B.1 C.0或4 D.4

【错解】解：方程两边都乘以最简公分母（x-1）（x+3），

得：x（x+3）-（x-1）（x+3）=m，

整理得：x+3=m，解得：x=m-3。

∵ 分式方程有增根，

∴（x-1）（x+3）=0，

解得：x=1或x=-3，

当m-3=1时，得m=4，

当m-3=-3时，得m=0，

综上所述：m的值为0或4，故选C选项。

【正解】其实，只需要把以上错解中的m=4，m=0代入原分式方程检验，就会发现：

当m=4时，原分式方程可化为x（x+3）-（x-1）（x+3）=4。

整理得：x=1，经检验x=1是原分式方程的增根；

当m=0时，原分式方程可化为

去分母、整理得1=0，显然不成立。因此，当m=0时，原分式方程无解，并没有使其产生增根。故而，本题正确答案为D。

【辨析】学生在解答本题过程中，极容易出现以上错解情况，为有效避免错误的出现，解分式方程最后一定要验根。

弄清楚分式方程有增根和无解的区别和联系，厘清这两者之间的关系，能帮助学生提高解分式方程的正确性，对正确判断分式方程的解的情况有重要的指导意义。