解析作差法在高中数学中的有效应用

江苏省溧阳中学 彭婷奕

作差法指的是应用有理数或式子的减法运算来比较两个有理数或式子的大小，因为是比较两个有理数或式子A与B的大小，需先求出A与B的差，即A-B，再结合计算结果来判断。作差法与作商法一样，都是比较两数或两式大小的惯用方法，高中数学教师在日常教学中要结合具体题目展开教学，让学生有效应用作差法来判断两个有理数或式子差的结果。

一、合理应用作差法，结合分类讨论思想解题

作差法的步骤是先设要比较的式子A与B，作差：A-B；变形：对式子A-B进行化简；判断结果；得出结论A＞B，A=B或A＜B。在高中数学课程教学中，不少题目的解答都需要用到分类讨论思想，教师需引导学生合理应用作差法结合分类讨论思想解题，也就是将差式因式分解后，部分因式一些量的取值和符号有关，这就要用到分类讨论思想判断来符号。

在上述案例中，学生需对a的两种情况进行分类讨论，不过要注意确定分类的标准，坚持不遗漏、不重复的原则，最终通过合理分类对两个式子进行作差判断，从而得出结果。

二、恰当运用作差法，巧妙结合函数思想解题

在高中数学教学过程中，要想有效运用作差法来解题，教师可巧妙结合函数思想，即把两个有理数或式子的差当作某一变量的函数，通过对函数解析式的变形与整理，结合函数知识判断结果的符号。对此，高中数学教师在日常教学中，应该引领学生根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，再应用作差法处理题目，使问题得到解决。

比如：已知A=x2+4x，B=5x-3，试比较A和B的大小。

解答：两式相减得出新函数f（x）=x2+4x-（5x-3）=x2-x+3=，即，也就是f（x）＞0，结果为A＞B。

再如：已知a∈R，x∈R，比较x2-x+1和-2a2-2ax的大小。

解答：两式相碱得出f（x）=x2-x+1-（-2a2-2ax）=x2-x+1+2a2+2ax，化简后得出x2+（2a-1）x+（2a2+1）。根据题意得知Δ=（2a-1）2-4（2a2+1）=-4a2-4a-3=-（2a+1）2-2 ＜ 0，由于 f（x）是二次函数，且图像开口向上，那么f（x）＞0，则A＞B。

如此，学生通过作差法将这两个例题中的式子相减，均得出关于x的二次函数，第一道题结合配方法求出函数的值域，对大小进行比较，第二道题则根据函数图像的特征来比较大小。

三、正确使用作差法，运用划归转化思想解题

划归与转化思想其实就是把未知变为已知，将作差后的式子转化为可以采用已知条件来判断结果符号的因式。转化方法通常是配方法与分解法；转化结果一般是常数、部分因式的积、常数与一些平方和。所以，高中数学教师应当带领学生将一些抽象问题转变为具体问题，寻求抽象问题的解题规律，使其找到问题解决的方法与突破口，增强他们的学习自信。

如：已知x＞3，比较x3+3和3x2+x的大小。

解析：设x3+3=A，3x2+x=B，那么A-B=x3+3-（3x2+x）=x2（x-3）-（x-3），将式子化简变形后转化成（x-3）（x+1）（x-1），由于题目中给出x＞3，所以x-3＞0，x+1＞0，x-1＞0，则（x-3）（x+1）（x-1）＞0，即为x3+3＞3x2+x。

随后组织学生反思：该道题目为确定差的符号，在变形中要用到因式分解，以此得出判断结果；思维过程：无法做到直接判断——转化（难以确定差的符号）——转化（判断积的符号）——转化（判断积中因式的符号）。

针对上述案例，学生搭配划归与转化的数学思想正确使用作差法，通过合理转化将题目中的因式由减法变成乘法，以此开阔解题思路和活化思维，快速求出正确答案。

总而言之，在高中数学教学活动中，教师需充分意识到作差法对解题的作用和效果，辅助学生学会正确应用作差法来解题，并科学融合分类讨论、函数、划归与转化等数学思想，倾力培养思维能力和解题能力，使其掌握更多的解题技巧和规律，构建高效的数学课堂，让学生实现可持续发展。