雾里看花千百度辨别真伪现成功———计数原理错例剖析

■江苏省宜兴第一中学 吴继敏

计数原理是高中数学中较难学的内容之一。它与其他知识联系较少，内容比较抽象。解决计数问题对同学们的抽象思维能力和逻辑思维能力要求较高，同学们解决计数问题时出现的错误往往具有普遍性，因此，分析同学们解题中常犯的错误，可以充分暴露其错误的思维过程，使同学们认识到出错的原因，可使他们在比较中对正确的思维过程留下更深刻的印象，从而有效地提高解题准确率。

一、“加法”、“乘法”原理混淆

两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关。如果完成一件事有n 类方法，这n 类方法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事有n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法数就用分步计数原理。

例1(2019年西安五校联考)50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，其中至少有3件次品的抽法有____种。

错解：有

错因：分类与分步概念不清，即加法原理与乘法原理混淆。

正解：分为二类。第一类，先取3 件次品，再取2件正品，其抽法有(分两步，用乘法原理种；第二类，取4件次品的抽法有种。最后由加法原理知不同的抽法共有

二、“排列”、“组合”概念混淆

界定排列与组合问题的唯一标准是“顺序”，“有序”是排列问题，“无序”是组合问题。在解答排列与组合并存的问题时，一般采用先组合后排列的方法。

例2(2019 年渭南模拟考试)有甲、乙、丙3项志愿服务项目，甲需要2名志愿者承担，乙、丙各需要1名志愿者承担，从10名志愿者中选派4 人承担这三项任务，则不同的选法有( )。

A.1 260种 B.2 025种

C.2 520种 D.5 040种

错解一：分三步完成。首先从10人中选出4人，有种方法；再从这4人中选出2人承担任务甲，有种方法；剩下的2人去承担任务乙、丙，有种方法。由乘法原理知不同的选法共有

错因：“排列”、“组合”概念混淆不清。承担任务甲的2 人与顺序无关，此处应是组合问题，即

错解二：分三步完成。不同的选法共有故选A。

错因：剩下的2人去承担任务乙、丙，这与顺序有关，此处应是排列问题，即

正解一：不同的选共法有2 520(种)。故选C。

正解二：先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出1人承担任务乙；最后从剩下的7人中选出1人去承担任务丙。由乘法原理知不同的选法共有2 520(种)。故选C。

正解三：从10 人中选出2 人承担任务甲；再从余下8 人中选出2 人承担任务乙、丙。由乘法原理知不同的选法共有2 520(种)。故选C。

三、重复计数出增解

例3 (高考试题改编)4个不同的玻璃球放入编号为1、2、3、4的四只木盒中，则恰有一个空盒的放法有____种。

错解一：从四只盒子中取出三只，有种方法，从4个球中取出3个放入取出的三只盒子内，有种方法，再将余下的玻璃球放入三只有球的盒子中的一只内，有种放法，所以共有

错解二：分三步完成。首先取出三只盒子，有种方法；再把球分为三组，有种方法；最后把三组球排列后放入盒子，有种方法。由乘法原理知共有288(种)方法。

错因：错解中出现先取a 后取b 和先取b后取a 两种情形，显然两种取法的结果是相同的，但却作为两种不同取法重复进行了计数，即由于组合问题的无序性，使不同的组合方式产生了相同的结果。

正解一：在错解中消除重复144(种)放法。

正解二：从4个球中取出2个作为一组，与另外2个玻璃球一起放入四只盒子中的三只内，共有

正解三：将4个球分别放入四只盒子后，取出其中的二只盒子并为一只盒子(自然出现一只空盒)，有

四、思维不严密而漏解（遗漏有关情形）

例4(2019 年韩城三模测试)甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，如果乙必须站在甲的右边(甲、乙可以不相邻)，那么不同的站法有( )种。

A.24 B.60 C.90 D.120

错解：把甲、乙“捆绑”为一个元素(乙在甲的右边)，与丙、丁、戊一起全排列，有24(种)站法。故选A。

错因：审题不严，未注意到“甲、乙可以不相邻”而漏解。

正解一：按乙的位置分为四类。乙排第一、二、三、四位时的排法数分别是，所以共有(种)站法。故选B。

正解二：因为甲在乙的左边与甲在乙的右边的情形是对称相同的，所以共有(种)站法。故选B。