《二项式定理》易错题归类剖析

■江苏省宿豫中学 丁先宝

二项式定理是中学数学不可或缺的组成部分，它是初中学习的多项式乘法的延续，是排列组合的直接应用，也与概率理论中的二项分布有着密切关系，是高考热点随机变量及其分布的基础。掌握好二项式定理既可以为学习多项式的变形起到很好的作用，也可以为进一步学习概率统计做好必要的知识储备。二项式定理是高考的必考内容，题型多为选择题、填空题，偶尔出现在解答题中。一般考查二项展开式的通项公式、二项式系数、展开式系数、某项或者项数等，甚至有时还会与其他数学知识综合考查。整体难度不大，属于完全可以掌握的知识。如果有好的解题方法和意识，做到基础知识扎实，重难点明确清晰，规避易错问题，就会收到事半功倍的效果!

易错题型1：混淆二项式系数和项的系数

在二项展开式中，利用通项公式求展开式中具有某些特性的项是一类典型问题，须注意二项式系数与项的系数的区别与联系。二项式系数是二项展开式中各项所含有的组合数，即，而项的系数是各项的字母变量的系数，这两个概念是既有区别又有联系的，如果在解题中不注意区分，就很容易出错。

例1的展开式中前三项的系数成等差数列，则n 的取值所构成的集合为____。

错解分析：由已知条件可得，化简可得n2-5n+2=0，此方程无整数解，故没有满足条件的n 值。

上述解法显然是审题不清，没有弄清二项式系数和项的系数的区别。在解此类问题时，关键要抓住二项式(a+b)n的展开式的通项是指展开式的第r+1项，因此展开式中第1，2，3，…，n 项的二项式系数分别是

正解：由题设，得，即n2-9n+8=0，解得n=8，n=1(舍去)。故答案为{8}。

易错题型2：混淆二项式系数最大项与展开式系数最大项

例2已知的展开式中，第五项的系数与第三项的系数之比为10∶1，求展开式中系数最大的项。

错解分析：由题意知，第五项系数为24，第三项的系数为则有

上述解法显然是错误地认为展开式中的二项式系数最大项就是展开式中系数的最大项，混淆了两个概念。

正解：由题意知，第五项系数为第三项的系数为则有所以n=8。

设展开式中的第r 项，第r+1项，第r+2项的系数分别为2r+1，若第r+1项的系数最大，则解得5≤r≤6，

易错题型3：二项式(a+b)n的展开式的通项中，因a 与b 的顺序颠倒而出错

例3若的展开式中，第五项是常数，则中间项是第几项?

错解分析：的展开式中的第五项是由第五项是常数，得解得所以题目无解。

上述解法显然是颠倒了(a+b)n的展开式中a 与b 的顺序，所以项也随之发生变化，最终导致出错。

正解的展开式中的第五项是由第五项是常数，得即n=16，则展开式中的中间项是第9项。

易错题型4：利用赋值法求解时出错

二项式定理的一个典型应用——赋值法，在使用赋值法时，令a，b 等于多少，应就具体问题而定，有时取“1”，有时取“-1”，或其他值。

例4已知(1-2x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100，求a1+a2+…+a100的值。

错解分析：由二项展开式系数的性质可知，(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n。显然，a0就是展开式中的=1，因此a1+a2+…+a100的值为2n-1。

上述解答显然忽略了a0，a1，a2，…，a100是项的系数，而不是二项式系数，从而导致错误。

正解：由二项展开式的结构特征可知a0，a1，a2，…，a100是项的系数，而不是二项式系数。观察式子特征，如果x=1，则等式右边为a0+a1+a2+…+a100，出现所求式子的形式，而a0就是展开式中的=1，因此(1-2×1)100=a0+a1+a2+…+a100，即1=1+a1+a2+…+a100，所以a1+a2+…+a100=0。

易错题型5：利用逆向思维解决二项式时出错

例5在多项式的展开式中，含x6的项的系数为____。

错解分析：原式=[1+(x-1)]n-1=xn-1，所以x6项的系数为0。

上述解法显然忽视了n 的范围，得出的结果是在n 不等于6 的前提下得到的，而这个条件并不是已知的。

正解：原式=[1+(x-1)]n-1=xn-1。

所以 当n ≠6 时，x6项的系数为0；当n=6时，x6项的系数为1。

二项式定理的学习是很有乐趣的，学生不仅能从中感受到对初中知识的延伸和拓展，也能感受到类似“杨辉三角”的数学美。高考中，二项式定理的试题难度并不高，但是因为“会而不对，对而不全”，而导致学生数学成绩提高受到限制，这也成为学生和老师挥之不去的痛，所以每个人都应该想办法解决这个问题。平时学习中，对二项式定理的基础知识和易错、易混的典型问题给予足够的重视，在易错点上给予更多的关注，以及针对性的训练，那么就一定能做到“会而对，对而全”。