“数感”在哪里———由《1000以内数的认识》课例想到的

叶 柱（特级教师）

谈到“1000 以内数的认识”，或者以“数的认识”冠名的其他同类内容，教师们大多会说：“要注重数感的培养”。如果进一步追问“何为数感？”“如何培养？”则又陷入了说不清、道不明的尴尬中。显然，这是课标高层理念在教学基层现实中“关注度”与“达成度”不均衡现状的真实写照。为此，笔者拟结合两个《1000 以内数的认识》课例，就“数感”的核心概念及其教学谈些想法。

《数学课程标准（2011 版）》指出：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。”显然，数感作为一种感悟，其核心指向“数与数量”“数量关系”“结果估计”。而至于更进一步的内容，《数学课程标准（2011 版）》也少有具体阐述。某天，看到史宁中教授谈及“数与数量”的相关话题，颇受启发。史教授认为，数感培养要侧重于“让学生理解数与数量之间的关系”，不仅要让学生感悟“数是对数量的抽象”（舍去现实背景），还应当反过来，让学生感悟“抽象出来的数与数量是有联系的”（回归现实背景）。鉴于上述学习所获及思考所得，笔者对“数的认识”教学中“数感在哪里？”有了一些粗浅认识，现作梳理、表达。

一、数感：在“大小”之间

认一个人，首先是“高矮胖瘦”之感。同理，识一个数，首先是“大小多少”之感。因此，在“数的认识”教学中，要将“帮助学生建立对数的大小感受”放在重要位置。当然，这种大小感受，不仅是通过“比较大小”之类的专门课时来落实，更要渗透于单元教学的每个细节中。在笔者看来，这是学生发展数感的基本保障。梳理两节《1000 以内数的认识》的教学策略，以下三点值得关注。

1.“大小”，需要粗略地估。

有时候，在“大小”判别时，模糊约略地估计比精细准确地刻画更能反映一个人的数感水平。因为，刻画常凭工具，估计则依赖感觉。因此，在“数的认识”教学中，“估计”是绕不开的重要活动。邵祝琴老师和樊曹阳老师在引入部分，呈现了三杯小棒，请学生选出数量为1000 根的那一杯。按理，学生没有实际的可用信息，怎么推断哪杯是1000 根呢？这个活动的实质，是让学生带着已有的对数的“大小”知觉，作出推断考量。这是其数感发展的重要体验。王清老师的课中，在呈现有序排列、一目了然的235 个小正方体前，先呈现一个玻璃瓶，让学生估计装在里面的小正方体的数量，再用课件演示验证。这个“先估后验”的过程，有利于让学生建构起“预判与调整”的活动经验，进而丰富“大小感”。

2.“大小”，需要充分地数。

在很多“数的认识”课上，教师都会安排一定篇幅的“数数”活动。两个课例的作者也不例外。笔者一直在思考，看似机械的“数数”，其育人价值在哪里？王老师在课始说的那句“数（shù）是数（shǔ）出来的”，笔者深表赞同。对学生而言，通过一个一个数、几个几个数、顺着数、倒着数、跳着数等兼具“肌肉记忆”与“思维印痕”的主体实践，能不断积累“数序”体验，持续强化“十进”观念，从中逐步建立起更立体、更完满的“大小感”。鉴于这样的分析，无论是邵老师和樊老师课中的“十个十个地数”“百个百个地数”，还是王老师课中“从235 开始，十个十个往后再数7 个数”“从805 开始，一个一个再倒数6 个数”，都在循序渐进地助推着学生脑海中数的“大小感”的稳固与发展。

3.“大小”，需要灵动地探。

王老师课尾的数轴练习，让人眼前一亮。一开始，让学生根据已经确定的200 刻度、尝试确定1000 刻度。这里边，有“估”的成分，而更深层次的用意在于，学生可用200 作为“单位”展开测量，进而得到5 个“单位”即是1000，由此领会这其中蕴含的数与数之间的“倍比”关系。后面跟进的“寻找800、330、303”等学习任务，则将数与数之间的关系转换到“区间”视角。这样的课堂练习，具有较强的探索味，学生可以带着自己鲜活的思考探寻策略、寻得答案。就在这个探索的经历中，数感得以蓬勃生长。

二、数感，在“分合”之间

数感，是对数的感知与感悟，是对数的“懂得”与“知晓”。当我们决定去解读每一个数的时候，“十进制”“数位”“计数单位”是无法回避的着眼点。在笔者看来，一个具有良好数感的人，遇到一个真实的数，会“条件反射”般地将其分解开来，从数位、计数单位等角度来领会其构成，确保“懂得”；同时，对于原本散存的几个百、几个十、几个一，又能“毫无违和感”地将它们拼合，从而“知晓”数的真正大小。就是在这样分分合合的过程中，学生对抽象的数才有了更内在的感觉与感悟。

我们高兴地看到，执教者都很重视发挥“数形结合”在分合教学中的强大功能。比如，教学“235的意义”时，邵老师和樊老师设计了一个师生合作环节，即“老师取小棒，一学生圈点子，一学生拨计数器，一学生指数字”，将2、3、5 各自蕴含的数学含义以实物直观、图像直观、动作直观等方式加以生动展示，有效揭示了“2 个百、3 个十、5 个一”的数学本质。对于随后引入的803，教师又组织学生借助练习纸、再次经历“分解”式研究的过程，取得了理想效果。再看王老师的课，当学生直面“一瓶未知数量的小正方体”一筹莫展时，课件有序呈现了“2 片+3 条+5 个”的正方体模型，指引学生立足线索、建立“合体”，瞬间构筑关于235 的准确认知。而后，又借助计数器将这种认知推向深入。

三、数感，在“来回”之间

本文开篇处，谈到了史宁中教授关于数感培育的真知灼见。带给笔者的启发是，“数感”内涵中存在着两个不可忽略的重要元素，即“抽象意识”与“应用意识”。所谓“抽象意识”，是使学生领会数的“来路”：数是对现实世界中的客观数量加以抽象的结果。所谓“应用意识”，是使学生明确数的“回路”：每一个所学的数都该回应生活、对接原型以发挥实用价值。在这一来一回之间，学生对数的感悟会显得更通透。

1.数的“来路”：抽象。

上面提到，“数（shù） 是数（shǔ）出来的”。我们可以这样理解，数（shǔ）着现实生活中客观存在的诸如一个个、一颗颗、一幢幢等相关事实，而后便抽象成为数（shù）。这就是说，数的来路，是一个符号化的过程，是一个抽象的过程。我们来看邵老师和樊老师的课。作为全课核心研究对象的“1000”“235”“803”三个数，来自于三杯真实存在的小棒。研究三个数，其现实背景是“探讨三杯小棒分别有多少根”。于是，数成为了小棒数量的符号化刻画。王老师在教学中也有相应体现。面对一瓶颇具原生态、但数量无从得知的小正方体，教师引导学生借助课件加以有序梳理，生成了“2 片+3 条+5个”的数学模型，进而提取出235这个数。这个过程，同样凸显了数“源于现实，成于抽象”的符号化来源。长期这样教学的理想结果是，学生一旦走进生活场景，便会自觉产生关于数的联想。毫无疑问，此时的数感水平已至高阶。

2.数的“回路”：应用。

在数感培育中，有来有回成通路。王老师教完“1000”后，花了较多篇幅引导学生体验“生活中的1000”。课堂现场中，我们感受到，学生在“触碰”1000 颗黄豆、1000 张纸、1000 元人民币、1000米高楼（跑道）后，对数的概念更清晰了：在数学中，1000 的内涵是恒定的；在生活中，从质量、厚度、体积等角度看，1000 的外延又是极其丰富的。由此，数回归生活、刻画生活的应用价值便进入了每位学生的主体视野。这个过程，是数学反馈生活的过程，也是数感得以历练的载体。未来，假如学生每看到一个数，能自觉联想这个数在现实生活中的存在状态，其数感水平定然已达“不俗”的层次。

综合全文所述，围绕“数感在哪里？”这个核心话题，笔者以为，曾经虚无缥缈的“数感”，其实就隐藏在“大小”“分合”“来回”等具体可见的活动之间。数感，作为一种感觉，显然不会拘泥于一个虽明确但狭隘的标准，而是一种张弛有度、兼容并蓄的数学思辨。