含落角约束打击运动目标偏置比例制导律设计

郝 峰,王鹏飞,张 栋

(1.西北工业大学 航天学院,陕西 西安 710072;2.西北工业大学 陕西省空天飞行器设计实验室, 陕西 西安 710072;3.中国兵器工业第二○三研究所,陕西 西安 710065)

末制导律设计的目的是使导弹在击中目标时获得最小脱靶量。此外,为使导弹在命中目标时姿态最佳,进而使战斗部发挥最大效能,取得最佳毁伤效果,往往还需要对目标进行定向打击,即满足落角约束[1-7]。如希望反坦克导弹能够以接近垂直下落的方式命中目标的顶装甲以获得最大穿深。文献[8]利用自适应比例制导律对高超声速飞行器进行导引,通过改变比例系数来对静止目标进行垂直打击。文献[9]提出了一种基于偏置比例导引法的带落角约束打击地面运动目标的制导律。该制导方案扩大了导弹的捕获域。然而,当采用该制导方案以尾追方式攻击目标时,导弹的制导性能会下降。文献[10]提出了一种间接作用角控制的偏置比例制导律。文献[11]提出了一种通过调节偏置项来满足终端角度约束以及导引头视场范围限制的偏置比例制导律。文献[12]通过设计偏差反馈项来获得了一种基于比例导引法的拦截角控制制导律。通过调整比例导引法中导引系数的值,文献[13]分2个阶段调节比例导引系数,在二维平面内分别实现碰撞角约束条件下对固定目标的攻击。文献[14]进而又将该制导方案扩展到全向打击地面运动目标的情况。但这两种制导方案均需要改变制导模式。由于可能会造成控制系统的不稳定,因而制导指令的突然改变是不可取的。虽然以上研究均包含落角约束打击静止目标或运动目标,但其制导方案较难同时实现全向打击及具有宽松的初始发射条件。

为了解决该问题,本文提出了一种打击运动目标的偏置比例制导律。首先,通过导弹与目标的相对运动,将目标视为一个虚拟的静止目标。进而,可将打击运动目标问题降阶为打击该虚拟静止目标的问题。对于飞行轨迹角的约束控制,可间接地通过控制相对飞行轨迹角来实现。通过相对关系以及引入偏置相对比例导引的思想,要求相对飞行轨迹角速率与视线角速率成比例,并利用瞬时变换以及小角度假设对偏置项进行设计以控制约束角。由于所提制导方案进行落角约束时需要获取剩余时间信息,在本文所设计制导方案的基础上,推导得到了一种较为精确的针对运动目标并同时考虑比例和偏置项影响的剩余时间估计方法。

1 问题描述

导弹与目标的相对几何关系如图1所示,其中Oxy为惯性坐标系,vm和vt分别为导弹和目标的速度,并认为其大小为常值。

如图1所示,假设目标背离导弹从左向右运动,即认为目标的运动轨迹角为0。根据几何关系,导弹与目标的相对运动方程可写为

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中:γm为导弹的飞行轨迹角,am为导弹的法向加速度,φ为视线角。导弹与目标的相对速度矢量vR为

vR=vm-vT

(6)

定义γR为导弹与目标的相对飞行轨迹角,其为相对速度矢量与基准线之间的夹角(逆时针为正),如图1所示。根据几何关系,可以得到相对飞行轨迹角γR的表达式为

(7)

定义速度比β=vt/vm,则式(7)可以简化为

(8)

对式(8)进行求导,可得:

(9)

(10)

通过观察可以分析出,式(10)建立了导弹实际的飞行轨迹角速率与相对飞行轨迹角速率之间的关系,也意味着建立了实际的制导指令与虚拟指令之间的关系。对于式(10)的分子项可知,其满足:

1-2βcosγm+β2≥(1-β)2>0

(11)

定义相对前置角σR为

σR=γR-φ

(12)

结合以上处理,式(3)和式(4)可以简化为

(13)

(14)

此外,通过式(13)和式(14),可将地面运动目标视为一个虚拟静止目标,从而将整个制导问题简化。假设整个过程被理想跟踪,便可以通过控制相对飞行轨迹角γR而间接实现对飞行轨迹角γm的控制,进而实现对运动目标的定向打击。

打击目标是末制导阶段制导律设计的第一要务。此外,为增强导弹的杀伤威力,一般还要求可以对目标进行定向打击。通常情况下,约束角可以定义为Γimp=γm,f,γm,f为导弹飞行轨迹角的终端值。将式Γimp代入式(8)中,整理后可以得到终端相对飞行轨迹角γR,f的表达式为

(15)

2 偏置比例制导律设计

aRM=aRPN+aRB

(16)

式中:aRPN为相对比例制导指令,aRB为所需要设计的相对偏置项。

(17)

(18)

对式(18)进行求导,可以得到相对比例制导指令表达式为

(19)

定义ρ为飞行器当前位置到参考基准之间的距离,将式(19)代入式(16)中,整理后可得:

(20)

已知tgo=tf-t,将M1位置所对应的飞行器状态作为初始状态,求解上述微分方程,整理后可得:

(21)

式中:

(22)

(23)

假设在t1时刻飞行器完成落角约束,则在t时刻的剩余时间tgo=0,则有γR(t1)=γR,f,即:

(24)

将tgo1换成tgo可以得到每一时刻约束角的值为

(25)

结合式(25)和式(19)可以得到aRB为

(26)

(27)

(28)

(29)

由于在推导制导律的时候进行了小角度假设,会影响制导精度,为此对偏置项补偿一个系数κ,则式(27)可以表示为

(30)

通过式(28)可以得到实际的制导指令为

(31)

由式(31)可以看出,导弹的法向加速度指令主要由两部分组成:第一部分主要是建立运动目标与静止目标之间的转化关系;第二部类似于含落角约束打击静止目标时的偏置比例制导律。另外,第二部分同样也可以分为2块:第一块主要抑制视线旋转,从而保证导弹能够击中目标;第二块通过引入角偏差项,形成一个反馈,通过实时调整制导指令来满足所要求的角度约束。

此外,由于该制导方案主要针对高速导弹打击低速目标的情况,即β<1。因而,在整个制导过程中始终满足关系1-βcosγm>0,即采用制导律(31)在制导过程中不会出现制导指令奇异的情况出现。

3 附加参数的选取及剩余时间估计

上一节通过小角度假设推导了本文所提的制导方案,然而小角度假设只是一种理想情况,其会对制导精度以及加速度收敛特性造成较大的影响。为此,本文在偏置项前补偿一个系数κ来解决小角度假设所带来的制导性能下降等问题。此外,在执行本文所提制导方案时需要获知剩余时间tgo,剩余时间的估计精度将直接影响制导精度。然而,绝大多数传统剩余时间方案主要针对静止目标或缓慢移动目标,以及只考虑比例指令对剩余时间的影响。当考虑落角约束时,约束角控制指令也会对弹道造成较大幅度的影响,进而影响实际的剩余时间。因此,在考虑落角约束时,不仅要考虑比例指令对剩余时间的影响,还要考虑偏置项指令对剩余时间的影响幅度。

将εR对时间求导,并将式(30)代入其中,可得:

(32)

已知tgo=tf-t,对上式进行积分可得:

(33)

将式(33)求导,可得:

(34)

可见,当κ>1时,初始角偏差及其变化率会随着时间的推移而逐渐收敛到0。需要说明的是,κ应在合适的范围取值。原因主要有:一是飞行器执行能力有限,制导指令不能过大;二是在推导过程中进行了一定的简化,这会带来一定的偏差,κ取值过大会放大这些偏差,可能会造成在执行制导方案过程中,制导偏差无法及时消除,进而导致任务失败。

文献[15]给出了一种针对静止目标常比例导引系数的剩余时间tgo计算方法,具体表达式为

(35)

然而,对于运动目标及具有变比例导引系数的本文所提制导律,该剩余时间并不合适。为此,需要结合本文所提制导方案,对式(35)的剩余时间估计方案进行改进。具体方案为:需要在相对坐标系中,将目标作为一个虚拟静止目标,采用相对量,如γR,σR以及vR等替换式(35)中的实际量。根据以上分析,对于本文所提制导方案,比例指令对剩余时间的影响幅度为

(36)

式中:

(37)

根据文献[12]可知,对于静止目标,偏置项对弹道长度的影响幅度为

(38)

式中:aPN和aB分别为常系数比例项和偏置项产生的制导指令。

类似地,采用相对量,式(38)可以表示为

(39)

此外,根据式(19)可知,相对比例项产生的制导指令可近似写为

(40)

根据式(30),由偏置项产生的制导指令具体形式为

(41)

将式(40)和式(41)代入式(39)中,整理后可得:

(42)

进而,由偏置项引起的剩余时间表达式可通过sRB/vR计算获得,将其与式(36)结合,可以得到总的剩余估计值为

(43)

4 仿真结果

以地地导弹打击运动目标为例,验证本文所提出制导律的性能。导弹速度大小为300 m/s,目标以50 m/s大小的速度沿x轴正方向运动。另外,导弹的初始位置的坐标为(0,0),目标的初始位置坐标为(5 000,0),合成导引系数N为4。

图3为所提制导方案与文献[14]中的打击匀速直线运动目标的两阶段制导方案的对比结果。导弹的初始飞行轨迹角为90°,落角约束分别为-60°和-120°。表1为不同制导方案性能对比结果。表中,r(tf)为脱靶量,γm(tf)为落角。从仿真结果和表1可以看出,所提制导方案与两阶段制导方案均具有较高的制导精度。然而,所提制导方案弹道轨迹收敛快,且中间过程不需要制导指令大幅度切换。因而,所提制导方案优于该两阶段制导方案。

γm,f/(°)本文所提方案r(tf)/mγm(tf)/(°)两阶段方案r(tf)/mγm(tf)/(°)-601.02-59.992.21-60.01-1201.23-119.991.90-120.01

图4为采用本文所提剩余时间估算方案与传统剩余时间估算算法r/vm在对目标进行垂直打击时的对比结果。从结果中可以看出,利用所提方案,导弹飞行高度更低,射程更近,弹道轨迹收敛更快。

为验证本文所提制导方案对约束角的全域捕获能力,约束角γm,f分别取为-30°,-90°,-120°,-150°和-180°时,所对应的仿真结果如图5所示。由图5(a)可以看出,在不同落角约束情况下,导弹均能成功命中目标,从而验证了本文所提出的制导律对运动目标具有全向打击能力。图5(b)给出了不同情况下的导弹法向加速度曲线。从图中可以看出,当落角约束比较大时,在导弹接近目标时,导弹的法向加速度幅值越大,导弹的需用过载越大,但最终都收敛到0附近,展现了良好的收敛能力。图5(c)给出了导弹飞行轨迹角γm随时间的变化曲线,图5(d)给出了相应的导弹飞行轨迹角与期望落角之间偏差随时间的变化曲线。从图中可以看出,角度偏差均收敛到0。

5 结束语

针对含落角约束打击运动目标的问题,本文提出了一种偏置相对比例制导律。利用导弹与目标的相对关系,将目标视为一虚拟静止目标,利用偏置相对比例的设计思想,通过对相对飞行轨迹角的设计,从而间接地实现对运动目标的打击以及落角约束。剩余时间的估计直接影响落角控制的精度及制导性能。针对运动目标落角约束问题,在本文所提制导方案的基础上,得到了考虑具有时变系数的比例项以及偏置项影响的剩余时间估计方法。此外,该制导方案能够保证导弹在末制导前期尽可能地充分利用导弹的机动能力,以使制导律尽快地收敛;在制导中后期可快速完成落角控制。在保证脱靶量的同时,能够迅速将约束角控制完成,进而保证加速度曲线收敛。大量的数值仿真验证了采用所提制导方案良好的制导性能及加速度收敛特性,并验证了较为宽松的初始发射条件以及对运动目标的全向打击能力。