例谈函数值域求法

2019-01-04贺志雄

大理大学学报 2018年12期

贺志雄

（德宏师范高等专科学校数学系，云南芒市 678400）

函数问题是高中数学一个非常重要的内容，其中函数值域又是一个难点，它可变式为最值问题，也可变式为不等式证明问题，其本身具有一定的综合性。函数值域求解方法灵活多样，可涉及函数与方程的转化、函数与函数的转化、函数与不等式的转化、变量与变量的换元代换、数形结合等多个知识点及思想方法。下面选择具有代表性的一个问题，从多个角度认识和解决，以体现函数值域问题求解的核心思想和方法。

例题：求函数y=的值域。

1 数形结合法

围绕数与形相互转换，初等数学中已形成了一种非常重要的数学思想方法，即数形结合的思想方法。数学家华罗庚先生曾经写过一首词，很形象地反应了数形之间的这种辩证关系：“数与形本是相倚依的，焉能分作两边飞，数缺形时少知觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离”〔1〕25。

1.1换元基础上的数形结合法换元思想是指通过变元或式表示、代替或转换为某些确定的数学对象，将数学问题化繁为简、化难为易，从而达到化未知到已知的终极目标的一种思维倾向。换元思想的本质是映射转移，或者说就是引进某种新的映射，对原给定的函数进行分解或实施复合，它的理论依据是等量代换〔2〕。

解法1：设u=，v=，则u2+v2=1且u≥0，v≥0，该曲线方程为四分之一圆，于是问题转化为：y为何值时，直线u+v=y与该四分之一圆有交点。由图1容易得到，y的取值范围为，即为所求函数值域。

图1 解法1图列示

解法2：函数定义域为［0，1］，

依照解法1可求解。

1.2不换元的数形结合法

解法3：函数的定义域为［0，1］，

这里函数u=与u=-的图像分别为一段抛物线AB、CD。见图2。于是问题化归为向上平移图像CD，使其与图像AB相交至相切时，y的取值范围问题，设切点为E（x0，y0），则抛物线AB、CD在x=x0处切线斜率相等。

图2 解法3图列示

由图2易知y的范围在A点与G点之间即有1≤y≤。

1.3 构造向量的数形结合法向量作为一种带有方向的线段，集“数”“形”于一身，即向量可以类似像数那样进行运算，其本身又是一个“图形”。向量是体现数形结合方法的良好载体〔1〕111。

解法 4：设向量a=（，），b=（1，1）（见图3），

图3 解法4图列示

2 逆变法

逆变法属于一种逆向思维，它是“正难则反”思想在化归策略中的一种，简单地说，逆变法就是数学形式的反面思考，实现对立双方的转化〔3〕81。将y=f（x）看成是x的方程，若求得x=g（y），由g（y）的定义域及x的范围（原来函数y=f（x）的定义域）即g（y）的范围，则可求得y的范围。

3 判别式法

方程实质上就是求已知函数的变数值，使在变数值上已知函数有某个预先指定的值，特别是使函数值变为零，不等式也可类似地去看，于是方程和不等式都统一到函数的范畴中〔4〕161。判别式法完成了这样的一种“统一”。

消元整理后有

关于u的一元二次方程有非负解，由根与系数的关系及根存在的条件有：

4 等价转化的方法

在数学求解过程中，经常会见到“换一句话说”这样的表述形式，其实就是“构造一个等价命题”的通俗说法。简单地说，一个命题的充要条件称为它的等价命题。所谓等价转化是指通过将所解决的问题转化为它的等价命题，使得问题的条件或结论之间更趋于匀称、和谐，联系更为紧密，从而有利于解决问题〔3〕59。恒等变形是等价转化的一种方法，通过恒等变形变换问题的形式，从而使问题得以求解。

5 利用函数单调性的方法

函数的单调性，从几何直观的角度看，就是函数图像走势的变化规律〔3〕207。找到了“规律”，问题迎刃而解。

函数的定义域为［0，1］，

6 三角代换法

三角代换法的基本思想，在于把函数的值域问题转化为三角函数的值域问题，在代换时，必须使三角函数的值域与被代换变量的取值范围相一致〔1〕142。消去根式是数学常用的一种划归方法，在解无理方程、无理不等式时，都要用到这种化“无理”为“有理”的方法。下面用三角函数的平方关系消去根式，得到一个三角式而不是有理式，但它产生了把一个问题得以解决的“有理行为”，这属于更广泛意义的有理化。