直线与方程快乐导学王佩其

■王佩其

同学们，你一定见过斜拉桥，斜拉桥的拉索可以看成方向不同的一些直线。实际生活中，如何来刻画直线的倾斜程度呢?要弄清这个问题，我们必须先学习直线与方程。

一、知识要点梳理

1.直线的倾斜角

(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫作直线l的倾斜角。当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。

(2)直线l倾斜角的范围是[0°，180°)。

2.斜率公式

(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k=tanα。

(2)若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则直线l的斜率

3.直线方程的五种形式

(1)点斜式的适用范围是不含直线x=x0。

(2)斜截式的适用范围是不含垂直于x轴的直线。

(3)两点式的适用范围是不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)。

(4)截距式的适用范围是不含垂直于坐标轴和过原点的直线。

(5)一般式的适用范围是平面直角坐标系内的所有直线。

4.两条直线的位置关系

(1)两条直线的位置关系有平行，垂直和相交。两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则l1∥l2⇔k1=k2。当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2。

(2)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2=-1。当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2。

(3)直线l1与l2的交点坐标就是两条直线方程组成的方程组的解。

二、典型例题剖析

例1已知坐标平面内的三点A(-1，1)，B(1，1)，C(2，3+1)。

(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角。

(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围。

解：(1)由斜率公式得0，即得直线AB的倾斜角为0°。

(2)在平面直角坐标系中，作出直线AB，BC，AC，如图1所示。

图1

由图像可知，当斜率k变化时，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA沿逆时针方向旋转到CB位置时，直线CD与AB恒有交点，即点D在△ABC的边AB上，此时斜率k由kCA增大到kCB，所以斜率k的取值范围为。

由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，可利用定义式k=tanα(α≠90°)来解决。由两点坐标求斜率，可利用斜率公式求解。涉及直线与线段有交点问题时，可利用数形结合法求解。

例2已知两条直线l1∶ax-by+4=0和l2∶(a-1)x+y+b=0，求满足下列条件的a，b的值。

(1)l1⊥l2，且l1过点(-3，-1)。

(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等。

解：(1)由题意可知l2的斜率存在，且k2=1-a。

若k2=0，则1-a=0，即a=1。

因为l1⊥l2，所以直线l1的斜率k1必不存在，即b=0。又因为l1过点(-3，-1)，所以-3a+4=0，即(与a=1矛盾)，可知此种情况不存在，故k2≠0，即k1，k2都存在且不为0。

因为l1⊥l2，所以k1k2=-1，即a)=-1。 ①

又因为l1过点(-3，-1)，所以-3a+b+4=0。 ②

由①②解得a=2，b=2。

(2)因为直线l2的斜率存在，l1∥l2，所以直线l1的斜率存在，可知k1=k2，可得=1-a。 ③

又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即

当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑斜率存在的一般情况，也要考虑斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件。在判断两条直线平行或垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论。

例3若直线l过点P(-1，2)且到点A(2，3)和点B(-4，5)的距离相等，则直线l的方程为

解：(方法1)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k(x+1)，即kxy+k+2=0。由题意知，即|3k-1|=|-3k-3|，所以所以直线l的方程为y-2=，即x+3y-5=0。

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，也符合题意。

故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1。

(方法2)当线段AB∥l时，可得kl=，这时直线l的方程为y-2=，即x+3y-5=0。

当l过线段AB的中点时，由线段AB的中点为(-1，4)，可得直线l的方程为x=-1。

故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1。

利用距离公式应注意的是∶①点 P(x0，y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|，到直线y=b的距离d=|y0-b|;②应用两平行线间的距离公式时，要把两直线方程中x，y的系数化为相同的系数。