T-S模糊Markov跳变系统控制策略综述

苏 磊，叶 丹,2*

(1.东北大学 信息科学与工程学院，辽宁 沈阳 110819；2.东北大学 流程工业国家重点实验室，辽宁 沈阳 110819)

模糊集概念是由Zadeh教授于1965年首次提出[1]，经过半个世纪的发展，有关模糊集的研究获得了丰硕的成果.在提出模糊理论后的几年里，控制领域的学者们并没有找到合适的方法将其运用到工程实践中，直到1974年Mamdani分析了模糊逻辑在锅炉和蒸汽机控制中的应用问题[2]，模糊控制理论才开始被广大学者熟知和探讨.值得一提的是，Mamdani提出的模糊控制方法虽然在实际应用中能够达到满意的控制性能，但美中不足的是该方法一直无法验证闭环系统的稳定性.究其原因是Mamdani的方法是基于启发式规则的语义表达，缺乏坚实的理论基础和适当的数学工具来进行控制器性能分析[3-4].为了解决这一难题，日本学者Takagi和Sugeno于1985年提出了基于模型的模糊控制方法[5]，即T-S模糊模型.T-S模糊模型是由模糊隶属度函数光滑连接多个线性状态方程产生的一个全局模型，在任意的凸紧集内，T-S模糊模型能够以任意精度逼近任意光滑非线性函数.因此，T-S模糊模型能够用来描述非线性系统的动态过程.T-S模糊模型实质上是非线性模型，但对应的每条规则又是线性模型，这种特征便于人们进行稳定性分析和控制问题研究.近几十年来，T-S模糊模型已成为研究热点，并且成为非线性系统控制的重要方法.

另一方面，日趋复杂的自动控制系统在长时间的工作中，其系统结构或参数不可避免出现随机跳变/切换的情况，如飞机控制系统、大规模的制造系统等大系统，其多个工作模式间的随机切换，某个子系统的突发故障及外部环境造成的信息传输中断等[6].物联网、云处理及太空科技中的自动控制装置高度依赖繁重的信息处理，因处理信息的环境不同而出现系统结构或参数的随机突变[7]，这种结构或参数的随机突变大大影响了系统控制的效果和品质.针对这一现象，Krasovskii 和 Lidsskii 建立了最早的 Markov 跳变模型[8]，该模型提出后得到了研究人员的极大关注，研究成果涉及控制理论的方方面面，同时成功应用于多个工程控制领域[9].

近年来，不少学者对T-S模糊系统中存在系统参数随机发生跳变及模糊规则中前置变量发生突变的现象感兴趣，这也提升了T-S模糊Markov跳变系统的研究，这些研究取得了大量有意义的结果[10-11].

1 T-S模糊Markov跳变系统的控制问题研究现状

T-S模糊Markov跳变系统不是Markov跳变系统与T-S模糊模型简单的结合.实际上，T-S模糊Markov系统所面临的，不仅有子系统个数和系统维度的增加，也有模糊规则与Markov跳变过程的互相耦合问题.例如，由于跳变现象的存在，控制器与系统的模糊规则不能同步，若再同时出现系统模态与控制器模态异步情况，面临的问题更复杂.此外，当转移概率和模糊隶属度函数未知时，相应的控制器设计问题也同样不易解决.近年来关于T-S模糊Markov跳变系统的控制综合问题得到了广泛关注[12-13]，相关研究主要集中在以下问题：转移概率是否已知、模糊隶属度函数是否匹配及模糊规则与Markov切换之间是否耦合.

1.1 T-S模糊Markov跳变系统的转移概率问题

在T-S模糊Markov跳变系统中，各子模态(子系统)间的随机切换是由转移概率决定的.因此，从T-S模糊Markov跳变系统本身出发的研究多是围绕转移概率开展的.早期，人们讨论T-S模糊Markov跳变系统时，通常假设其转移概率是完全可知或可测的，在此假设下做出了许多开创性的工作.但随后有学者发现，实际应用时转移概率信息很难完全获得.因此，在转移概率信息完全可知情况下得到的结果不再适用.

在假设转移概率完全已知的条件下，He等[14]针对T-S模糊Markov跳变系统设计了一个基于观测器状态的反馈控制器，并在系统存在时滞的情况下实现了有限时间镇定和H∞控制.Wang等[15]考虑T-S模糊Markov跳变系统存在的随机跳变不确定和时滞，利用时滞分割和线性矩阵不等式技术，设计出了相应的控制器.针对更一般的转移概率未知但有界的情况，He等[16]研究了T-S模糊Markov跳变系统基于L2-L∞控制性能指标的随机控制问题.Kim[17]针对T-S模糊Markov跳变系统中不完备的转移概率情况，引入松弛矩阵技术并结合转移概率特殊结构，解决了转移概率未知时的控制器设计问题.但需要指出的是，上述研究主要是基于处理转移概率非完全可知情况下的方法.从“系统结构-控制性能”观点来看，对具有可变或未知转移概率的跳变系统，是否可以通过设计其转移概率结构来提升控制性能？为了解决这一问题，Bolzern等[18]借助切换系统的研究方法，提出了跳变/切换系统结构(也称双切换系统结构)，即有限个子模态(系统)间的随机跳变是由动态Markov切换法则和确定型切换信号组成，并通过采用外部监测器选择确定型切换信号，实现有限个子模态(系统)在分段常函数Markov转移概率下的控制分析与设计.需要指出的，鲜有文献研究T-S模糊Markov跳变系统中分段转移概率的结构，因此弱化分段转移概率限制、考虑实际应用效果的控制综合方法是该领域学者值得探索的一个方向.

1.2 T-S模糊Markov跳变系统的模糊隶属度函数问题

研究T-S模糊Markov跳变系统的控制问题时，模糊隶属度函数的选取是当前的研究热点之一.按隶属度函数分类，T-S模糊模型可分为一型T-S模糊模型[1](隶属度函数完全已知)和二型T-S模糊模型[19](隶属度函数未知但上下界已知).

针对一型T-S模糊Markov跳变系统的控制问题，一般采用并行分布补偿技术(parallel distributed compensator, 简称PDC)，其主要思想就是模糊控制器与模糊系统分享相同的前置隶属度函数.Sheng等[20]利用线性矩阵不等式技术，克服了以往求解非线性哈密顿雅克比不等式的困难，并利用PDC技术设计出了相应的控制器.Zhang等[21]采用输入输出方法，针对T-S模糊Markov跳变系统中存在丢包和时变时滞的情况，设计了基于PDC技术的H∞模糊跳变控制器.随着研究的深入，后来的学者发现一型T-S模糊Markov跳变系统中模糊权重包含不确定信息时，PDC技术失效.针对这一问题， Hou等[22]在处理离散时间T-S模糊Markov跳变系统事件触发可靠控制的问题上，设计了异步模糊跳变控制器.

在实际控制系统中，精确的隶属度信息往往很难获得.基于此，Zedeh[19]于1975年提出了二型模糊集的概念，其隶属度是在一型模糊隶属度函数基础上再次模糊化.因此，二型模糊集很大程度上增加了设计的自由度，应对高度不确定情况时，具有更好的效果[23-26].Li等[23]采用二型T-S模糊模型对网络控制系统参数不确定性进行建模，并在此基础上，设计出了基于观测器的模糊控制器.Zhao等[25]不仅利用二型T-S模糊模型处理了系统参数不确定性，还提出了一个新型的二型模糊切换控制器设计方法，并充分利用隶属度函数的上下界信息，降低了设计控制器时的保守性.目前基于一型T-S模糊Markov跳变系统的控制问题研究较多，而二型T-S模糊Markov跳变系统的控制问题仍是空白，有待进一步研究.

1.3 T-S模糊Markov跳变系统的模糊规则与切换规则耦合问题

在T-S模糊Markov跳变系统中，当转移概率和模糊规则间存在耦合时，相应的控制问题将会变得更为复杂，该耦合出现于模糊规则前置变量函数的随机跳变和李雅普诺夫函数选取中.

针对模糊规则前置变量中存在的跳变现象，Zhang等[27]研究了离散时间T-S模糊Markov跳变系统控制，处理了转移概率部分已知的情况.Lu等[28]不仅考虑了上述情况，还解决了系统运行过程中可能出现的随机丢包问题.需要指出的是，上述文献仅仅针对T-S模糊Markov跳变系统基于PDC技术的控制器设计，如何设计一个异步模糊控制器值得进一步研究.针对李雅普诺夫函数选取问题，为了降低控制器设计的保守性，Tao等[29]针对离散时间T-S模糊Markov跳变系统设计可靠控制器时，选取了既依赖于系统模态又依赖于系统模糊规则的李雅普诺夫泛函.He等[30]通过选取一个模态依赖的模糊李雅普诺夫泛函，解决了连续时间T-S模糊Markov跳变系统的H∞控制器设计问题，并通过引入松弛矩阵降低了设计的保守性.目前，在T-S模糊Markov跳变系统中，有关模糊规则与切换规则耦合问题的研究相对较少，有待进一步探讨.

2 T-S模糊Markov跳变系统控制问题面临的挑战

T-S模糊Markov跳变系统经历了几十年的发展，不仅在理论上得到了深化，在应用中也取得了丰硕的成果.但是，随着研究的深入，一些之前研究中没有发现或者没有引起重视的问题日益浮出水面，其相关问题如下：

(1) 绝大部分的研究工作主要关注整数阶系统，而分数阶系统在很多情况下能更好地描述现实中无法用整数阶系统来描述的自然现象.因此，研究分数阶T-S模糊Markov跳变系统的控制问题非常有意义.

(2) 针对T-S模糊Markov跳变系统控制问题大部分集中在转移概率、模糊隶属度函数及保守性降低等方面，对于控制器自身饱和、输入受限及数据量化等问题很少关注.因此，设计控制器时兼顾饱和、输入受限及数据量化等，也是面临的一个挑战.

(3) 针对T-S模糊Markov跳变系统所设计的是状态反馈控制器，鲜有输出反馈控制器的设计方案发表.在实际控制系统中，系统的真实状态往往不能通过测量获得，但通过测量能够直接获得系统的输出状态，因此针对T-S模糊Markov跳变系统的输出反馈控制器值得研究.

3 结束语

笔者对现有的T-S模糊Markov跳变系统的控制器设计问题进行了综述.首先，介绍了T-S模糊Markov跳变系统的研究背景；其次，从3个方面分析了T-S模糊Markov跳变系统控制策略的研究现状；最后，对现有T-S模糊Markov跳变系统控制器设计中存在的问题进行了总结和展望.

参考文献：

[1] ZADEH L A. Information and control[J]. Fuzzy Sets,1965,8(3):338-353.

[2] MAMDANI E H. Application of fuzzy algorithms for control of simple dynamic plant[J]. Proceedings of the Institution of Electrical Engineers,1974,121(12):1585-1588.

[3] FENG G. A survey on analysis and design of model-based fuzzy control systems[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2006,14(5):676-697.

[4] 肖建, 赵涛. T-S模糊控制综述与展望[J]. 西南交通大学学报,2016,51(3):462-474.

[5] TAKAGI T, SUGENO M. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control[J]. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics,1985(1):116-132.

[6] BOUKAS E K. Stochastic switching systems: analysis and design[M]. New York: Springer Science & Business Media,2007.

[7] 吴森堂. 结构随机跳变系统理论及其应用[M]. 北京: 科学出版社,2007.

[8] KRASSOVSKII N N, LIDSKII E A. Analytical design of controllers in system with random attributes I, II, III[J]. Automation Remote Contr,1961,22:1021-1025.

[9] BOUKAS E K, LIU Z K . Deterministic and stochastic time-delay systems[M]. New York: Springer Science & Business Media,2012.

[10] WU H N, CAI K Y. Mode-independent robust stabilization for uncertain Markovian jump nonlinear systems via fuzzy control[J]. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part B (Cybernetics),2005,36(3):509-519.

[11] DONG J X, YANG G H. Fuzzy controller design for Markovian jump nonlinear systems[J]. International Journal of Control, Automation, and Systems,2007,5(6):712-717.

[12] ZHANG Y S, XU S Y, ZHANG B Y. Robust output feedback stabilization for uncertain discrete-time fuzzy Markovian jump systems with time-varying delays[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2009,17(2):411-420.

[13] SHEN M Q, YE D. Improved fuzzy control design for nonlinear Markovian-jump systems with incomplete transition descriptions[J]. Fuzzy Sets and Systems,2013,217:80-95.

[14] HE S P, LIU F. Finite-timeH∞fuzzy control of nonlinear jump systems with time delays via dynamic observer-based state feedback[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2012,20(4):605-614.

[15] WANG J W, WU H N, GUO L, et al. RobustH∞fuzzy control for uncertain nonlinear Markovian jump systems with time-varying delay[J]. Fuzzy Sets and Systems,2013,212:41-61.

[16] HE S P, LIU F.L2-L∞fuzzy control of jump systems with bounded transition probabilities[J]. Systems Engineering and Electronics,2011,33(3):594-599.

[17] KIM S H. Control synthesis of Markovian jump fuzzy systems based on a relaxation scheme for incomplete transition probability descriptions[J]. Nonlinear Dynamics,2014,78(1):691-701.

[18] BOLZERN P, COLANERI P, DE NICOLAO G. Markov jump linear systems with switching transition rates: mean square stability with dwell-time[J]. Automatica,2010,46(6):1081-1088.

[19] ZADEH L A. The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning[J]. Information Sciences,1975,8(3):199-249.

[20] SHENG L, GAO M, ZHANG W H. Dissipative control for Markov jump non-linear stochastic systems based on T-S fuzzy model[J]. International Journal of Systems Science,2014,45(5):1213-1224.

[21] ZHANG L X, NING Z P, SHI P. Input-output approach to control for fuzzy Markov jump systems with time-varying delays and uncertain packet dropout rate[J]. IEEE Transactions on Cybernetics,2015,45(11):2449-2460.

[22] HOU L Y, CHENG J, QI W H. Event-triggered reliable control for fuzzy Markovian jump systems with mismatched membership functions[J]. ISA Transactions,2017,66:96-104.

[23] LI H Y, WU C W, YIN S, et al. Observer-based fuzzy control for nonlinear networked systems under unmeasurable premise variables[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2016,24(5):1233-1245.

[24] AKBARZADEH T M R, HOSSEINI S A, NAGHIBI-SISTANI M B. Stable indirect adaptive interval type-2fuzzy sliding-based control and synchronization of two different chaotic systems[J]. Applied Soft Computing,2017,55:576-587.

[25] ZHAO T, XIAO J. State feedback control for interval type-2Takagi-Sugeno fuzzy systems via interval type-2regional switching fuzzy controllers[J]. International Journal of Systems Science,2015,46(15):2756-2769.

[26] ANTAO R. Type-2fuzzy logic: uncertain systems’ modeling and control[M]. Singapore: Springer Nature,2017.

[27] ZHANG L X, YANG T, WU F. Control for discrete-time fuzzy Markov jump systems with mode-dependent antecedent parts[C]//Industrial Electronics (ISIE), IEEE23rd International Symposium,2014:2306-2311.

[28] LU Q G, ZHANG L X, ZHANG Q R, et al. Stability analysis and controller design for a class of T-S fuzzy Markov jump system with uncertain expectation of packet dropouts[C]//American Control Conference (ACC), IEEE,2013:6400-6405.

[29] TAO J, LU R Q, SHI P, et al. Dissipativity-based reliable control for fuzzy Markov jump systems with actuator faults[J]. IEEE Transactions on Cybernetics,2017,47(9):2377-2388.

[30] HE T Q, CHEN J, LIU F.H∞control for fuzzy Markovian jump systems based on fuzzy Lyapunov function[C]//Control Conference (CCC),36th Chinese, IEEE,2017:4162-4168.