例谈“数学归纳法”在物理问题中的应用

陈蒙

摘 要：题目往往要求学生结合已知条件，进行多次过程分析，然后再进行归纳，合理推导，进而得到结论。高考物理题中也数次出现了这样的情景，在处理多过程问题时，很多情况下可以用数学归纳法来分析解决。

关键词：归纳法；多过程；举例

“数学归纳法”是一种研究问题的方法，特征一般是从个别的、特殊的现象和规律出发，推出具有一般原理性和普遍适用的结论或规律。数学归纳法对学生逻辑分析能力和数学应用能力有较高的要求。题目往往要求学生结合已知条件，进行多次过程分析，然后再进行归纳，合理推导，进而得到结论。高考物理题中也数次出现了这样的情景，在处理多过程问题时，很多情况下可以用数学归纳法来分析解决。

在此，通过举几个典型例说明这一方法在处理多过程物理问题中的应用。

例1 有一弹性小球让其从4.9m高处自由落下（不计空气阻力），已知，小球与水平地面每次碰撞后，由于机械能的损失，速率减小为碰前的7/9，不考虑小球与地面碰撞的时间，求出小球从开始下落一直到运动停止所用的总时间。

解析：小球第一次落地时的速度为：v0=■=■=9.8m/s

第一次下落时间为：t0=■=■=1s

第一次碰后速度为：v1=v0×■

第一次碰后，上升再落回地面时间为：2t1=2v1/g=2×■s

第二次碰后速度为：v2=v1×■=v0×（■）2

第二次碰后，上升再落回地面的时间为：2t2=2v1/g=2×（■）2s

可以推知，第n次碰后，上升再落回地面的时间为：2tn=2vn/g=2×（■）ns

故，所求总时间可以表示：T=t0+2t1+2t2+…+2tn

进而求和可得：T=8s

例2 通过对前两次过程分析后显示出来结论的规律，然后通过数学归纳法得出多次后的结论，最后由数列求和，数学思想渗透较多。下面再分析一道多过程的碰撞问题，此题为一道高考原题，体会一下归纳法在处理多过程碰撞问题上的应用：例2.质量为m绝缘球与质量为M=的金属球并排悬挂在一起，如图所示。质量关系：M=19m，如果将绝缘球拉到与竖直方向成θ=60°的位置，然后让其自由释放，当其摆到最低点后会与金属球发生碰撞。假设碰撞为弹性碰撞。在最低点周围分布有一定范围内的垂直于纸面的磁场。由于磁场阻尼，再次碰撞前金属球將静止于最低点。如果让某次碰撞后，绝缘球偏离竖直方向的小于45°，那么至少需要几次碰撞才能实现？

解析：假设绝缘球的摆长为L，并且在这里规定向左为速度方向为正方向，第一次碰撞前、后绝缘球的速度为v0、v1，金属球的速度为：V1。

分析第一次碰撞，根据动量守恒定律列式得到：mv0=MV1-mv1

机械能守恒定律列式得到：■mv02=■MV12+■mv12

解出：v1=■v0，V1=■v0

分析第二次碰撞，同样道理可以列式：

mv1=MV2-mv2，■mv12=■MV22+■mv22

解得：v2=（■）2v0，V2=（■）2v0

分析第三次碰撞，同理可列式：mv2=MV3-mv3，■mv22=■MV32+■mv32

解出：v3=（■）3v0，V3=（■）3v0，

由此，可以推知，第n次碰撞后，绝缘球的速度为：vn=（■）nv0，而金属球速度为：Vn=（■）nv0

分析第一次碰前绝缘球的动能可以表示为：E0=■mv02=mgl（1-cosθ0）

第n次碰后绝缘球的动能为：

■=■mvn2=■m（■）2nv02=0.81nE0=mgl（1-cosθ）

整理得到：0.81n=0.586，我们已知：0.813=0.531，0.812=0.656

故可以分析得到结论，经过3次碰撞后满足题意。

例2对学生的物理逻辑思维要求比较高，而后来的处理用数学归纳法比较巧妙地简化了思考的难度，为一道典型的归纳法在高考题中的应用。

在处理关于多过程物理问题很多情况需要应用数学归纳法，这需要学生对物理情景准确把握，正确分析，合理推知，最终得出结论。

参考文献：

[1]邹鹏.07年高考新题型之“物理条件的相关性”知识的应用[J].高考（理化生），2007.

[2]黄慧.物理过程·对比鉴别·巩固提高[J].佳木斯教育学院学报，2012.

编辑 高 琼