小蚂蚁的“体”“面”生活

王再兴

摘 要：在解决在曲面上爬怎么样走最近这一问题时，学生路径选择上和理解上是有一定困难的。初中生对曲面比较陌生，怎样化曲为平，将其转化为学生更容易理解的问题是值得教师深思的。

关键词：化曲为平；勾股定理；展开

现举例分析如下：

爬台阶爬行问题：

如图所示，学校教学楼前的台阶上，每一级的长、宽和高分别等于5 dm，3 dm和1 dm，在台阶的某层一端B点上有一只蚂蚁，想到A点吃食物，那么这只蚂蚁从B点出发，沿着台阶面爬到A点，怎么样爬路线最短呢？

思路分析：在台阶上爬，学生刚开始思考起来有难度，需要转化为我们初中生熟悉的平面几何问题来解决。我们不妨假设台阶上铺上红地毯，现在把红地毯平鋪到一个平面上，再来研究计算AB之间的距离，这样理解起来更为直接。

解：将台阶展开，如下图，

因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，

所以AB2=AC2+BC2=169，

所以AB=13（dm），

所以蚂蚁爬行的最短线路为13 dm.

答：蚂蚁爬行的最短线路为13 dm.

绕圆柱体爬行问题：

如图所示，桌子上有一个圆柱形的透明玻璃杯，玻璃杯的底面圆的周长为16 cm，高为7 cm，一只蚂蚁从距离底面1 cm的A处爬行到对角的B处吃食物，那么小蚂蚁怎样爬行路线最短呢？最短路线是多少？

分析：显然在圆柱体上找最短路径，想象起来比较困难，首先学生在曲面上画图比较困难，在圆柱体的表面画出最短路径比较困难，因此应该考虑把圆柱体的侧面展开成一个矩形，把曲面转化为平面，从而进行求解。

解答：展开图如图所示，题目变成解直角三角形ABC的问题，利用勾股定理可以很容易解得AB的最小值为10 cm.

拓展训练：桌子上有一个圆柱形的透明玻璃杯，玻璃杯的高为12 cm，底面周长10 cm，在杯口内壁离杯口2 cm的A处有一滴蜂蜜，一只小蚂蚁在和点A相对的玻璃杯的外壁上的点B处，点B距离桌面为2 cm，小蚂蚁沿着玻璃杯从B处到A处去吃蜂蜜，怎样爬行路线最近呢？最短路径是多少？

解答：展开图如图所示，做A点关于杯口的对称点A′。则BA′=■=13 cm

绕圆锥体爬行问题：

如图所示，圆锥体的底面半径为5 cm，母线长为20 cm，一只小蚂蚁若从底面圆周上一点A点出发，绕圆锥体的侧面爬行一周又回到A点，怎样爬行路线最近呢？最短路径是多少？

解：由题意知，可求底面周长等于10π cm，

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长，解得n=90°，圆锥的侧面展开图为圆心角为90°的扇形，连接AA′，两条母线和AA′构成等腰直角三角形，根据勾股定理很容易求得小蚂蚁爬行的最短的路线。

拓展训练：如果原题中的其他条件不变，母线长变15 cm，那么最短路线长为多少呢？

沿长方体或正方体表面爬行问题：

如图所示，一个边长为1 cm立方体，一只小蚂蚁从立方体的顶点A出发沿着正方体的外表面爬到另外一个顶点B处寻找食物，怎样爬行路线最近呢？最短路径是多少？

解答：同样考虑把曲面展开成平面来解决，展开图如图所示，AB=■=■cm

拓展训练：如图，在一个长为50 cm，宽为40 cm，高为30 cm的长方体盒子的顶点A处有一只蚂蚁，它要爬到顶点B处去寻找食物，小蚂蚁怎么样爬路线最短呢？

解：图1中，AB=■=40■≈89.4 cm.

图2中，AB=■=30■≈94.7 cm.

图3中，AB=■=20■≈77.5 cm.

∴采用图3的爬法路程最短，为20■ cm

分析：当沿着立方体的外表面爬行的时候，答案比较好确定。当沿着一个长方体表面爬行的时候，可以通过长方体的展开平面图来解决。化曲为直，体现了数学中的转化思想，但是长方体的侧面展开图有三种展开方式，所以在求AB间最短路线问题，需要针对所有可能的情况进行分类讨论，体现分类讨论思想，同样根据勾股定理来解决。当然，通过本题可以发现，当小蚂蚁在长方体表面爬行的时候，要想得到最短距离，首先考虑把长方体展开，然后选择跨越最长的那条棱最近。

编辑 段丽君