物质波的波速与频率公式中的能量

林辉庆

摘 要：高中物理教科书没有明确说明物质波的频率公式中的能量是动能还是总能量，而由频率乘以波長求得的波速大小在中学均存在疑问。本文指出频率公式中的能量是粒子的总能量mc2，介绍波包、相速度和群速度的概念，解释物质波波速的疑问。

关键词：物质波；能量；波速；波包；相速度；群速度

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2018）10-0057-3

1 物质波的波长、频率与波速

高中物理在光的波粒二象性之后学习了德布罗意的物质波概念。即任何实物粒子（下面简称粒子）都具有波动性，每一个运动的粒子都与一个对应的波相联系。粒子的动量p跟它所对应的波的波长λ的关系是

2 频率公式中的能量与波速的疑问

物质波波长公式中的动量p=mv，m是粒子的质量，v是粒子的速度。问题是物质波频率公式中的能量E是什么？是粒子的动能还是总能量？对此，上述两种版本的教科书都没有明确的说明。不过司南版教科书编有下面的例题及解答，涉及到运动粒子的能量。

例题 求动能Ek=100 eV的自由电子的物质波波长[2]。

其他各种版本的教科书也都有类似的例题或课后练习，这对学生造成了这样的暗示：运动粒子的能量指的是它的动能。

如果E是粒子的动能，则波速

物质波的波速只有粒子运动速度的一半，它又怎么能与粒子相联系呢？所以，频率公式中的能量不可能是粒子的动能。

查阅大学物理教科书知道，物质波的频率公式中的能量E是运动粒子的总能量，大小为E=mc2，c是光速，m是粒子运动时的质量[3]。在相对论中，动量仍定义为p=mv。把动量p和总能量E的表达式代入（3）式，得到波速

粒子的运动速度v一定小于光速c，由（4）式可见波速vb大于光速c。波的传播速度大于光速是否与任何物质的速度都不超过光速的结论相矛盾？

要解决这个问题，需要了解波包及其传播速度的知识。

3 波包与相速度和群速度

3.1 简谐波与波包

典型的波包及其传播可以作如图1所示的直观理解。手拉紧一根均质的轻绳使其处于水平状态，手突然上下抖动几次之后又归于静止，一个凸凹相间的有限长度的波列——波包就沿绳子向右匀速传出。

在数学上，利用傅里叶分解可以将任何波包分解为许多不同频率、振幅和相位的简谐波的叠加。

3.2 相速度与群速度

包络的移动速度vg叫做调幅波ψ（x，t）的群速度[4]。

对于经典的机械波和电磁波，能量密度正比于振幅的平方，所以调幅波中振幅最大的位置正是能量密度最大的地方，它的移动速度（即群速度）应是能量的传播速度。对于物质波，粒子在空间各处出现的概率正比于振幅的平方，群速度应是微观粒子的运动速度。

4 物质波的相速度和群速度

4.1 与运动粒子相联系的波包

与运动粒子相联系的物质波并不是具有确定的动量和能量的无限长平面简谐波。因为这种理想的简谐波在空间各点的振幅相等，表示粒子在空间各处出现的概率相等，或者说粒子处于空间坐标完全不确定的状态。

实际上，由于测量的误差以及粒子运动本身具有的不确定性，粒子的能量E、动量p等总是只能在一定的范围内被确定。相对应地，与粒子联系的物质波的频率v、波长λ、角频率ω和角波数k也只能在一定范围内被确定。设与粒子相联系的物质波的角频率的不确定度为Δω（Δω<<ω），那么描述这个粒子运动的物质波，是角频率在ω-Δω～ω+Δω之间的许多简谐波叠加而成的波包[5]。

图3是一个沿x轴运动的粒子的波包示意图，任一时刻粒子可能出现在该时刻波包区域内的任一位置，在波函数振幅最大的位置出现的概率最大。粒子可能出现的空间区域随着波包的移动而移动，移动速度就是波包的群速度vg。

4.2 物质波的相速度和群速度

这就定量地证明了物质波波包的群速度就是粒子的运动速度。

通过上面的分析知道，与运动粒子相联系的物质波是由许多频率相近的简谐波叠加而成的波包。描述波包传播的速度有相速度和群速度。相速度是波包中各相近的频率成分的简谐波恒定相位点的移动速度，群速度是波包包络的移动速度。群速度等于粒子的运动速度，而相速度并非粒子的运动速度，它只有数学描述上的意义，因此相速度大于光速与任何物质的速度都不超过光速的结论并不矛盾。

参考文献：

[1]普通高中课程标准实验教科书物理（选修3-5）[M].北京：人民教育出版社，2010：37.

[2]普通高中课程标准实验教科书物理（选修3-5）[M].济南：山东科学技术出版社，2007：92.

[3]赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程量子物理[M].北京：高等教育出版社，2008：20.

[4]赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程力学[M].北京：高等教育出版社，2004：284-285.

[5]赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程量子物理[M].北京：高等教育出版社，2008：28-29.