电磁感应与动量结合问题分类剖析

徐华兵

摘 要：电磁感应与动量结合问题是各大型考试的重点内容，也是难点内容。本文归纳了电磁感应与动量结合问题的常见题型，归纳出命题老师的命题模型——棒变速切割模型和框进出磁场模型。列举了能应用动量定理处理求解的常考题型，并归纳出每种题型的处理方法和解题常规思路。

关键词：电磁感应；动量定理；导体棒；切割；线框

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2018）10-0038-5

电磁感应问题往往涉及到牛顿运动定律、动量守恒、能量守恒、电路的分析和计算等许多方面的物理知识，使力学和电磁学的综合达到了极致，能很好地考查学生综合应用物理知识、分析解决物理问题的能力，因而成为高考等大型考试考查的重点。自浙江实行新高考政策以来，笔者发现每次选考物理压轴题都与电磁感应和动量问题有关，这类问题很受命题老师的青睐。

试题常见的形式是导体棒（或框）切割磁感线，产生感应电流，从而使导体棒（或框）运动。其运动形式有匀速、匀变速和非匀变速三种情形，对前两种情况，学生容易想到用牛顿运动定律求解；对后一种情况学生也容易想到用能量守恒和动量守恒定律求解。但是当安培力变化，且又涉及位移、速度问题时，学生往往感到不知所措。此时，应用动量定理求解往往能收到出奇制胜的效果。

1 命题、解题思路分析

1.1 命题“种子”模型

模型1——棒变速切割：水平光滑导轨与电阻R连接，处在竖直向上磁感应强度为B的匀强磁场中，一质量为m、长为L、电阻为r的导体棒以初速度v0向右运动（如图1所示）。

模型2——框进出磁场：边长为L的正方形线框以初速度v0沿光滑水平面进入宽度为d、磁感应强度为B的有界匀强磁场中（如图2所示）。

1.2 解题的万能方法

上述模型中棒或框都在磁场中受到安培力的作用做变速运动，此时用牛顿运动定律或运动学公式无法求解。只能对棒或框利用动量定理求解：

通过对截面电量的两种求解方法，联立（1）（2）两式即可求出其他任意物理量，如任意时刻的速度v、位移x等。

1.3 分析思维框图

由图3所示的思维框图可以看出，电磁感应与动量结合问题求解的关键是——电量，所以在求解这类题目时，一定要盯牢电量。电量是桥梁，直接把框图中左右两边的物理量都联系起来，知道其中一些物理量，就能求解其他物理量。

2 常见题型分析

笔者分析研究发现电磁感应与动量结合类综合题题型比较固定，常见的只有四种模型，下面分类剖析这几种模型的常规处理方法。

2.1 电磁感应中应用动量定理求电量

应用动量定理求电量类的题目往往是处在磁场中的棒在极短时间内获得一个变化的电流，棒在安培力的冲量作用下，获得某一速度。解这类题目时，可先算出棒的动量变化量，后利用动量定理求出流经棒的电荷量。

变式1：如图5所示，磁感强度为B的匀强磁场，方向竖直向下。水平导轨宽为L，闭合开关S，质量为m的金属棒从h高处水平抛出，水平射程为x，求：S闭合瞬间通过导体棒的电量。

解析 接通开关S后，通过棒的电流使棒获得一个安培力冲量，以某一速度做平抛运动。对棒做平抛运动的过程进行分析：

2.2 电磁感应中应用动量定理求距离

例2 如图6两条平行的光滑金属导轨足够长，其水平部分存在着竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B=2 T。导轨间距离L=0.5 m，顶端所接电阻R=5 Ω，有一质量m=1 kg，电阻r=3 Ω的金属棒水平横放在导轨上距水平面高度h=0.2 m处，现让金属棒由静止开始下滑（不计导轨电阻），求：整个过程中金属棒在匀强磁场中移动的位移。

解析 棒在圆弧段做变速运动，进入磁场后切割磁感线产生感应电流，在安培力的冲量作用下，棒的速度发生变化，此运动为一个非匀变速运动。

变式2：如图7所示，绝缘水平面上固定着两根足够长的光滑金属导轨PQ、MN，相距L=0.5 m，ef右侧导轨处于磁感应强度B=1 T的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。开始时，ab棒和cd棒锁定在如图7所示的位置，ab棒与cd棒平行，ab棒离水平面高度h=0.2 m，cd棒与ef棒之间的距离也为L，ab棒的质量m1=0.2 kg，有效电阻R1=0.05 Ω；cd棒的质量m2=0.1 kg，有效电阻R2=0.15 Ω。（设两棒在运动过程中始终与导轨垂直，两棒与导轨接触良好，导轨电阻不计）。求：ab棒和cd棒速度相同时，它们之间的距离为多大？

2.3 电磁感应中应用动量定理求速度

应用动量定理求速度类题目一般是先根据法拉第电磁感应定律算出某过程的电量，再利用动量定理求出某时刻的动量，從而求出某时刻的速度。

例3 （2017年11月第22题）如图8所示，匝数N=100、截面积S=1.0×10-2 m2、电阻r=0.15 Ω的线圈内有方向垂直于线圈平面向上随时间均匀增加的匀强磁场B1，其变化率k=0.80 T/s。线圈通过开关S连接两根相互平行、间距d=0.20 m的竖直导轨，下端连接阻值R=0.50 Ω的电阻。一根阻值也为0.50 Ω、质量m=1.0×10-2 kg的导体棒ab搁置在等高的挡条上。在竖直导轨间的区域仅有垂直纸面不随时间变化的匀强磁场。接通开关S后，棒对挡条的压力恰好为零。假设棒始终与导轨垂直，且与导轨接触良好，不计摩擦阻力和导轨电阻。求：断开开关S后撤去挡条，棒开始下滑，经t=0.25 s后下降了h=0.29 m，求：此过程棒上产生的热量。

解析 断开开关S撤去档条后，棒下落切割磁感线产生感应电流，棒在重力和安培力的合力作用下，获得一个速度。对系统利用能量守恒，即可求出棒上产生的热量Q。

对棒应用动量定理：

变式3：（2018年4月第23题）如图9所示，在竖直平面内建立xOy坐标系，在0≤x≤0.65 m、y≤0.40 m范围内存在一具有理想边界方向垂直纸面向里的匀强磁场区域。一边长l=0.10 m、质量m=0.02 kg、电阻R=0.40 Ω的匀质正方形刚性导线框abcd处于图示位置，其中心的坐标为（0，0.65 m）。现将线框以初速度v0=2.0 m/s水平向右抛出，线框在进入磁场过程中速度保持不变，然后在磁感应强度B=2 T的匀强磁场中运动，最后从磁场右边界离开磁场区域，完成运动全过程。线框在全过程中始终处于xOy平面内，其ab边与x轴保持平行，空气阻力不计。求：线框在全过程中产生的焦耳热Q。

解析 线框进入磁场过程和穿出磁场过程，框中磁通量发生变化，有感应电流产生，有热量产生。由于线框匀速进入磁场，此过程产生的焦耳热即为框减少的重力势能，而出磁场过程产热即为克服安培力做的功。

2.4 电磁感应中应用动量定理求时间

应用动量定理求时间类题目一般是已知某一过程初、末状态的速度，而该过程棒或框的运动多为非匀变速运动，此时若用运动学公式求时间将会非常困难。只能对研究对象在此过程应用动量定理求时间。

例4 如图10所示，在空中有一水平方向的匀强磁场区域，区域的上下边缘间距为h，磁感应强度为B。有一宽度为l（l

解析 从初进入磁场到穿出磁场过程中，线框经历了三个运动过程：进入磁场过程为变加速直线运动，完全进入后到即将穿出过程为加速度为g的匀加速运动，穿出过程为匀速运动，无法应用运动学公式求时间，只能应用动量定理求解。

变式4：如图11所示，间距为L的倒U型金属导轨竖直放置，导轨光滑且电阻忽略不计。垂直导轨平面分布着100个场强为B的条形匀强磁场，磁场区域的宽度为a，相邻磁场距离为b。一根质量为m、电阻为R的金属棒放置在导轨上且与导轨始终良好接触，金属棒从距离第一磁场区域上端2a位置静止释放。设重力加速度为g。金属棒穿过各段磁场时，发现通过回路的电流随时间以固定周期做周期性变化。求：金属棒穿过每个磁场区域的时间。

解析 由于金属棒穿过每个磁场区域时，通过回路的电流随时间以固定的周期做周期性的變化，所以金属棒每次进入磁场的速度应该相同（设为v0），离开磁场时的速度也相同（设为v1）。进入磁场前和离开磁场后棒都做匀变速运动，可根据匀变速运动求解。

通过对电磁感应与动量结合问题分类剖析求解可以看出，求解过程中起到关键作用的往往是电量q。盯牢电量q这个关键因素，通过两个不同的角度求解电量，后联立求解即可得到所要求解的其他物理量。通过本文的分类阐述，希望对广大同行教师在讲解求解这类问题时有所帮助。