导数在高中数学函数中的应用体会探索

2018-12-24夏铭湖南师范大学附属中学

数码世界 2018年7期

夏铭湖南师范大学附属中学

1 导数在高中函数中的应用

1.1 在函数极值中的应用

使用导数对函数的极值进行研究是导数应用广泛的一个方式，同时也是高中数学中的一个重点考察内容。通过对导数的使用，可以让函数极值求解的问题更加简单，有利于我们更好的掌握一些解答技巧，进而提升自己的知识运用能力和解题能力。就以下面这道问题为例子：

例题1：已知ax2-1nx-1=0有两个解，根据题目求出a的取值范围。

解析：这道题可以用三种方式进行解答，首先可以将参数分离，在原式上得到a=，其中的x＞0,。然后再设f（x）=，并且求出f（x）的导数，以此得到 (x）=-，在此基础上让2lnx+1=0，得到x=e-。在0＜x＜e- 的时候， (x）＞0；在x＞e- 的时候, (x）＜0.因此，在x=e-的时候， (x）的最大值是。求出最大值之后，可画出 (x）草图，这样可以知道在a和f（x）有两个交点的时候，存在着0＜a＜，这样就可以得到a的取值范围是（0,）还有一种方式是把原始式子变形，得出lnx=ax2-1，然后设y1=lnx，y2=ax2-1，这样ax2-lnx-1=0就有两个解，进而转换成y1、y2有两个交点，在这些条件基础上画出相关的图形就可以知道在y1和y2有两个交点的时候，a＞0，如果两个曲线相切，则就可以设切点是P（x0，y0），在这其中 y0=a-1，y0=lnx0,2ax0=。在得出这个式子之后对式子；两边进行求导，这样可以得到2ax0=，进而求解得出a=。在我们所学的定义中，二次函数二次项系数越小，则开口就越大，因此y1和y2有两个交点的时候，0＜a＜，所以a的取值范围是（0,）。

1.2 在函数单调性中的应用

函数单调性是函数的一个重要性质，是研究函数的一个重要关键点。所以函数单调性一直是高中数学和高考中的重点。在对函数的单调性进行研究的时候，导数是一个有效的方式方法，通过对导数的运用能够把原函数单调性问题进行转换，将其转化为判断函数符号的相关问题。就以下这道题为例：

解析：利用导数对函数的单调性步骤是：先求出原函数定义域，然后再求出原函数的导函数，求出自变量取值范围，让导数函数大于零，然后写出单调区间。由题可知f（x）的定义域是。由于x＞0,2x+1＞0。然后设(x）-ax-1，进而得出 (x）=0，从而得到x=。通过这样依次计算的方式来判断出函数的单调性。

2 导数应用在高中函数中的体会

在教学体制不断变革之下，我们所学习的高中数学知识也发生了很大的变化。数学本身就是一门和生活实际相联系的科目，在生活中有很多问题都可以通过数学知识进行解答。尤其是导数相关的知识，如果我们使用导数去解决相关的问题，则就能让很多生活和工作上的事情更加简单。通过对导数特点的研究发现，将导数使用在生活中的一些物体移动速度和商业方面的利润最大化都有很大的作用。通过对导数的使用，可以对我们日常生活中的一些问题进行有效地解决。比如已知某个产品生产成本和产量之间的函数关系，知道价格和产量的函数关系，通过这两方面的关系求出价格基础上利润最大值。在对这种问题进行解答的时候，我们需要知道的是利润是收入减去成本，而收入是产量与价格的相乘，这样就能够得出产量与利润之间的函数关系式，进而使用导数来求出最大的利润。这是我们将导数使用在函数中的一个生活性质的体验。在对导数进行学习的时候，需要对其中的重难点进行把握。我们首先要做的是对导数的定义进行一定程度的了解，要清楚的知道导数的含义。接着就是学习导数的各种性质，导数的应用主要是对导数的相关性质进行运用，以此来解答相关的问题。因此，掌握导数的相关性质是我们应用导数解答函数的关键所在。使用导数解题本身是一个较为固化和传统的方式，但是在实际运用过程中还需要将问题简单化，这样才能够真正的掌握导数的运用技巧，进而提升自己的解题能力。