Karabut系统的代数首次积分

曲婧佳，杨双羚，孙佳慧

(1.空军航空大学基础部，吉林长春 130022；2.吉林建筑大学城建学院，吉林长春 130114)

(1)

(2)

其中，“·”表示对时间t的求导.

数值模拟显示，Karabut系统(2)具有复杂的动力学行为.这里，将从不可积性的角度去认识该系统的拓扑结构.一般地，如果一个微分动力系统有足够多的不变量(首次积分、对称、不变n-形式，等等)使得它的解

可以通过四则运算、积分、求导、代数运算等得到，则称这个微分动力系统是可积的.

对于一般动力系统，可积性并没有统一的定义，并且判断可积性也是十分困难的问题.本文主要研究系统(2)的代数可积性.如果一个n维常微分动力系统有n-1个函数独立的代数首次积分，则称该系统是代数可积的[5].

主要结果如下：

定理1 Karabut系统(2)至多有3个函数独立的代数首次积分.

定理2 Karabut系统(2)不是代数可积的.

为了证明定理1，需要如下引理.引理1说明了解析向量场在奇点附近函数独立的有理首次积分的数目与Jacobi矩阵特征值所张成自由模的秩的关系[6].

G:={(k1,k2,kn)∈nk1λ1+k2λ2++knλn=0,k1+k2++kn>0}

的秩等于s，那么该系统的任何有理首次积分一定是Φ1,,Φs的光滑函数.

容易看出，系统(2)拥有由奇点构成的平面(0,0,0,m,n).在奇点S(m,n)=(0,0,0,m,n)，系统(2)沿该平衡解线性化方程对应的5个特征根是(λ1,λ2,λ3,0,0)，其中，λ1,λ2,λ3是三次多项式λ3+(m2+mn+n2)λ+mn(m-n)=0的3个根.取m=1,n=2，由求根公式得到：

假设系统(2)有4个函数独立的代数首次积分.因为系统(2)是多项式系统，所以它也有4个函数独立的有理首次积分Φ1,Φ2,Φ3,Φ4[5].由Ziglin引理[7]，存在多项式P1,P2,P3,P4使得函数Ψ1=P1(Φ1,Φ2,Φ3,Φ4),Ψ2=P2(Φ1,Φ2,Φ3,Φ4),Ψ3=P3(Φ1,Φ2,Φ3,Φ4),Ψ4=P4(Φ1,Φ2,Φ3,Φ4)是函数独立的，它们的最低齐次项也是函数独立的.在奇点(0,0,0,1,2)，系统(2)线性化矩阵的秩是2，有2个零根和3个互不相同的非零根，因此，线性化矩阵是可对角的.利用引理1，Ψ4是Ψ1,Ψ2,Ψ3的函数，这与它们函数独立矛盾,由此定理1得证.由定理1可知定理2成立.