食饵带收获率的Holling-2型捕食者—食饵模型的Bautin分岔

傅仙发，陈剑峰，岳金健

(湄洲湾职业技术学院基础部，福建莆田 351254)

1 预备知识

本文研究的食饵带收获率参数的Holling-2型捕食者—食饵模型表示为：

(1)

其中，β,γ,δ都是正常数；正参数h表示收获率[1].

系统(1)的第一Lyapunov系数表达式为：

(2)

其条件表达式为[2]：

(3)

考虑以下临界参数系统：

(4)

其中，n≥2,m≥2[3].

由(2)和(3)可知，系统(1)可能经历Generalized Hopf分岔，即Bautin分岔.为了分析系统(1)发生余维2分岔现象的条件，必须先计算第二Lyapunov系数.于是在临界参数系统(4)限制到余维2的中心流形是局部光滑轨道，其一维标准型可表示为：

(5)

2 第二Lyapunov系数

系统(5)中的系数a5的计算公式如下：

h30=(3iϖ0I2-A)-1(C(q,q,q)+3B(q,h20)).

a5的展开式为：

由Maple软件计算，可得：

现在进行如下替换：

又可得：

令

最后可得[5]：

(6)

3 Bautin分岔曲面

当(γ,δ)∈V1时，如果选择两个适当的参数作为分岔参数，并且在临界参数β=1，h=h1=2/((δ/γ)-1)3附近给予扰动β=1+ε1,h=h1+ε2，则扰动系统局部轨道等价于系统：

其中，v属于如下集合：

如果转化(ε1,ε2)→(v1,v2)正则，即

那么，就会发生Bautin分岔[5,7].

因此，集合Bau是系统(1)的余维2 Bautin分岔曲面.

4 结语

本文通过计算第二Lyapunov系数，讨论分析了食饵带收获率参数的Holling-2型捕食者—食饵模型发生余维2分岔现象的Bautin分岔产生的条件，得出了对应的余维2 Bautin分岔曲面.