基于分数阶傅里叶变换的水下目标速度估计

谢砚同, 彭 圆, 张风珍, 张钊辉, 曹 琳

(水下测控技术重点实验室，辽宁 大连 116013)

0 引言

信号特征是水下目标信号检测和识别的主要依据。目标运动特征是主动声呐目标识别中一个重要特征，利用它可以区分运动和静止目标，其中目标的径向运动速度又是运动特征的主要体现，目标的径向速度估计是水下信息处理的重要研究内容之一。常用的发射信号之一是线性调频信号，即chirp信号[1]。对径向速度为v的动目标线性调频回波信号进行匹配滤波检测，只有选取相同径向速度的样本信号才能获取最优检测效果。当目标径向速度v未知时，通常选取零径向速度样本信号进行匹配滤波处理，会导致检测性能降低[2]。

分数阶傅里叶变换(FRFT)是一种广义的傅里叶变换，对于线性调频信号具有良好的聚焦特性，并且线性调频信号的调频率与分数阶傅里叶变换的阶数相对应[3]。由于目标的径向速度将会引起回波尺度的变化，从而使线性调频回波信号的调频率发生变化。本文根据分数阶傅里叶变换的尺度特性以及其对于线性调频信号的聚焦特性，提出一种基于分数阶傅里叶变换的动目标径向速度估计方法。

1 分数阶傅里叶变换

分数阶傅里叶变换作为傅里叶变换的广义形式，最早由Namias[4]提出，其是将待分析信号的时频结构按一定角度进行旋转，对于线性调频信号，通过选择合适的角度，即当选择角度与信号匹配时，就可以得到一个冲击信号。

相当于将信号的时频分布在旋转后的频率轴u上投影，若旋转角度合适，其能量在u轴的对应点聚焦，就可得到LFM信号能量高度集中的分数阶Fourier域分布，如图1所示。而当选择角度与信号不匹配时，依然变换为广义的线性调频信号。可根据LFM信号在某一分数阶Fourier域的聚焦性来检测和识别LFM信号。

信号x(n)的p阶FRFT定义如下:

(1)

式中,a=pπ/2定义为FRFT的旋转角度，FRFT的核函数Ka(t,u)定义为

Ka(t,u)=

(2)

其中

Aα=exp[-jπsgn(sinα)/4+ja/2]/丨sinα丨1/2

(3)

称为幅度因子。

FRFT的几个重要特性[5]如下：

1)周期性：F4l+px(t)=Fpx(t)，其中l为整数；

2)可逆性和酉性：(Fp)-1=F-p=(Fp)+，其中“+”代表核函数共轭变量转置；

3)交换性和叠加性：Fp1Fp2=Fp2Fp1=Fp1+p2；

4)特殊性：F0x(t)=x(t)；F1x(t)=FT[x(t)]；F2x(t)=x(-t)；F3x(t)=IFT[x(t)]。其中FT和IFT分别为傅里叶变换和傅里叶反变换；

5)频移特性[6]：y(t)=x(t)ejvt的p阶FRFT变换为

Yp(u)=Xp(u-vsin(pπ/2)*

(4)

6)尺度特性：y=x(st)的p阶FRFT为[6]

(5)

其中β=arc tan(s2tan(pπ/2))，可见信号的尺度变化不仅会引起u域的伸缩，而且FRFT的角度也会发生变化，且和尺度s的平方成正比；

7)能量守恒特性：

(6)

对信号进行分数阶傅里叶变换后，形成了信号能量在(a,u)平面上的二维分布，丨xa(u)丨2为信号x(t)的旋转角度为a的分数阶能谱密度，表示信号能量在不同chirp基上的分布。

Ozaktas提出的FRFT的数值算法是目前最有效的计算方法[7]，该算法首先将待测信号与一个时间chirp基信号相乘，之后利用FFT将运算结果与另一个频率chirp基信号进行卷积计算，有效地减少了运算量，当信号长度为N时，可将计算量减少到0(Nlog2N)级。

2 发射信号及接收信号

2.1 发射信号

线性调频信号是一种常用的发射波形，其表达式为

(7)

式中：A0为发射信号幅度；f0为信号中心频率；φ0为信号初始相位；k0=B/T为信号的调频率，其中B为信号的带宽，T为信号的时宽。

2.2 接收信号

由于水下动目标的机动性较小，加速度引起的回波变化可以忽略，则水下动目标的接收信号可表示为

exp{jπ[>2f0s(t-τ0)+k(t-τ0)2]}+n(t)

(8)

式中：r0(t)为目标回波；s=(c-v)/(c+v)，为多普勒压缩因子；v为目标径向速度；b为回波反射增益，其与目标特性和信道损失有关，在不考虑时变性的情况下为常数，不失一般性，取b=1；τ0=2R/c，是由于目标与接收机之间的距离引起的双程时延，其中R为接收机与目标之间距离；c=1 500 m/s，为海水中声速；k为回波的调频率，可知目标回波也为线性调频信号，只是调频率发生改变；n(t)为干扰信号，包含环境噪声与混响信号，对于频谱平坦的线性调频信号，可假设这2种噪声为相互独立的零均值高斯白噪声。

3 水下目标径向速度估计

3.1 接收信号FRFT

(9)

Fa{ejπ[>2f0s(t-τ0)+k(t-τ0)2]}=

(10)

4444)组成,每天给予量为每千克0.5克;(2)其余的氮供给由7%-11.4%的氨基酸溶液(广东利泰制药股份有限公司,国药准字H20068014)供给;(3)并且给予患者适当的维生素,保证水电解质的代谢平衡,将补给的总量配制1.5升,然后对患者行静脉输注。

对于干扰信号n(t)，因假设其为带限的零均值有色噪声，n(t)的能量均匀分布在所处于的频带内，从而能量聚焦性检测对噪声不是很敏感，因而基于分数阶Fourier域的能量聚焦性检测算法能有效地抑制噪声的影响。

3.2 目标径向速度估计

对接收信号进行分数阶傅里叶变换，形成在(α,u)平面域上的二维信号能量分布，在二维平面内进行谱峰搜索：

(11)

则接收信号的调频率为

(12)

尺度为s的回波信号的调频率k与发射信号的调频率k0之间的关系为

(13)

即可得

(14)

在主动声呐的工作条件下，发射信号的调频率k0是已知的，只要测得回波的调频率k，就可以估计出目标的径向速度。基于FRFT的目标径向速度估计原理框图如图2所示。

4 仿真试验

4.1 参数的量纲归一化

在数值仿真与实际工程中得到的回波信号通常是按一定的采样率得到的离散信号，对其进行分数阶傅里叶变换之前必须进行参数量纲归一化[8]。发射的LFM信号经过多普勒系数伸缩后，其参数发生变化，直接对离散的LFM回波信号进行FRFT计算相当于对原始数据已经进行了归一化处理，计算出的回波信号调频率是归一化后的回波信号的调频率，而不是真实的调频率。真实的调频率k与归一化后的调频率k′之间的关系为

(15)

式中fs为采样频率；N为采样点数。

4.2 仿真条件

设发射的LFM信号的带宽为0.5 kHz，时宽为0.25 s，中心频率为5 kHz，则该信号的调频率为2 kHz/s。在信噪比为3 dB，目标与接收机距离为3 km，目标模拟速度为1.028 m/s(2 kn)的条件下，分别模拟发射信号与接收信号，对二者的波形特性进行分析。图3为发射信号和接收信号的时域与频域特性对比图，图4为发射信号与接收信号的时频特性对比图，从图中可知，由于目标的速度和干扰信号的影响，接收信号的时频特性发生频率扩散，但有效的时频成分仍未线性调频形式。

对接收信号进行分数阶傅里叶变换，对其分数阶能谱密度图进行最优阶次搜索。首先不考虑频率域，只对阶次和信号强度的二维关系进行研究，按阶次p=0.001为步长，在阶次域找到信号强度的峰值对应的阶次，即为最优阶次。

针对该仿真条件下的能谱密度图进行上述的最优阶次搜索，得出分数阶傅里叶变换最优阶次p=0.984，目标径向速度为1.037 2 m/s。图5为接收信号分数阶能谱密度图，图6为传统傅里叶变换与最优阶次下分数阶傅里叶变换的接收信号频谱对比图。从图中可知，分数阶傅里叶变换可以有效地抑制噪声的影响，与传统傅里叶变换相比，其对于含有干扰成分的接收信号具有良好的聚焦特性，可估计出目标的径向速度。

4.3 性能分析

为分析信噪比对于速度估计性能的影响，在信噪比变化的情况下，分别对3种不同运动状态下的物体进行100次蒙特卡罗试验，对速度估计误差进行分析。取信噪比范围在-7～6 dB，目标的径向运动速度分别取1.028 m/s(2 kn)、2.056 m/s(4 kn)和5.14 m/s(10 kn)，对速度估计的均方根误差进行分析，如图7-9所示。不同信噪比下的3种运动状态的速度估计误差均值见表1-3。

表1 不同信噪比下的速度估计误差均值(v=1.028 m/s)

表2 不同信噪比下的速度估计误差均值(v=2.056 m/s)

表3 不同信噪比下的速度估计误差均值(v=5.14 m/s)

该结果表明，当信噪比低于-2 dB且高于-4 dB时，在多次试验中存在可以良好估计目标速度的情况，但误差波动较大，具有不稳定性；当信噪比高于-2 dB后，对3种运动速度的目标都可以较准确地估计径向速度，且结果稳定。并且由最优阶次的得出方法可知，阶次域的分辨率步长同时也影响速度估计的精度，阶次搜索步长越小，速度估计精度越大，同时计算时间也会变长。

5 结束语

利用分数阶傅里叶变换对线性调频信号的聚焦特性，提出了应用分数阶傅里叶变换的水下运动目标LFM回波检测算法，以此为依据对目标的径向运动速度进行估计。并在不同的信噪比下，对3种不同运动速度下的目标分别进行仿真试验，结果表明：该方法可良好地抑制噪声干扰，可在较低的信噪比条件下工作，具有较高的速度估计精度；同时阶次域的分辨力步长也对速度估计精度产生影响，最优阶次搜索步长越小，最优阶次搜索得越准确，速度估计精度越高。