数学史料与高中数学教材融合的现状分析

摘 要：将教材中运用数学史的方式分为点缀式、附加式、复制式、顺应式、重构式五种.运用上述分类方式，对人教B版必修教材中的数学史料进行考察，研究发现：数学史已进入教材的各个部分，教材中数学史料的较少，运用方式以点缀式、附加式等显性呈现方式为主，将数学史融入教材的重构式等隐性方式较少.

关键词：数学教材；融入；数学史料；现状分析

作者简介：覃淋（1991-），男，四川南充人，硕士，研究方向：数学史与数学教育研究.

一、引言

在数学教材中融入数学史料，是HPM研究的一个重要方面.自1972年在第二届国际数学教育大会上成立数学史与数学教学关系国际研究小组后，人们已逐渐认识到數学史在数学教育中扮演着重要的作用，数学史的教育价值受到数学教育工作者的广泛关注.与此同时，教材中数学史料的呈现方式也经历了较大的变化.因此，考察教材中数学史料的融入情况，对未来数学教材的编写具有重要意义.

在数学教材中运用数学史，有较为悠久的历史.在20世纪初的一些数学教材中，已经开始将数学史运用于教材中，只是大多以故事的形式出现，与教学内容联系并不密切.一般而言，教材中数学史料的呈现方式可分为显性和隐性两大类[1].如数学家画像、数学家的传记、数学概念起源的介绍、数学符号的历史等，都属于显性方式.显性数学史料的主要作用是引起学生的学习兴趣，激发学习动机.隐性方式则是根据实际教学，对数学史料进行改编、重构，保留历史上相关数学概念发生发展的关键步骤，以润物无声的方式体现数学史料提供的思想和方法，所谓的“发生教学法”就属于隐性方式.隐性呈现方式中，数学史料的表现并不十分明显，常常隐藏在一些数学概念或例、习题之中，按数学知识发生发展的顺序展现相关内容，让学生在无意识中经历数学“再创造”的过程.

关于教材中数学史料运用方式的分类，到目前为止，得到广泛认可的分类方式还没有.大多数分类方法都是针对在数学课堂教学上运用数学史来讨论的，如CTzanakis等总结了在数学教学中运用数学史的三种方式：（1） 提供直接的历史信息；（2） 借鉴历史进行教学；（3） 通过数学及其文化背景发展学生的数学意识.UTJankvist提出了另外的3种方法：（1） 讲述法，即在教学过程中补充相关的历史信息；（2） 模块法，即设计一些与教学内容相关的数学史专题；（3） 历史启发法，是一种间接运用历史的方法，如发生教学法.本文采用汪晓勤教授建立的分析框架[1]，见表1.该分类框架是按数学史与数学知识的关联程度，将教材中运用数学史料的方式分为5类：点缀式、附加式、复制式、顺应式、重构式.前两种方式独立于教学内容，其是否存在对教学的影响不大，后三种则与教材正文内容相关.若按史料的呈现方式看，前3种属于显性，后2种属于隐性方式.

顺应式44正文各栏目中对历史上数学问题进行改编，使之具有适合于今日课堂教学的情境或属性；或是在练习、习题中对历史上的数学问题进行改编，使之适合今日学生的学习.隐性

重构式55正文各栏目中借鉴或重构知识的发生、发展历史，以发生法来呈现知识.隐性

二、高中数学教材中的数学史料

按表1给出的分析框架，对人教B版高中数学教材[2]中的数学史料的运用情况进行统计分析.

1点缀式

5册教材中，点缀式数学史料共有10处，占B版教材中数学史料总数的20%.从5册教材点缀式数学史料的具体内容来看，和A版教材一样，以数学家肖像、历史上数学著作的图案和反映相关数学主题的图片为主.

5册教材中涉及到的数学家有：康托（数学1）、华罗庚（数学2）、纳皮尔（数学1）、韦达（数学4），而且数学家肖像又主要出现在课后的阅读材料中.历史上数学著作的图案仅涉及了刘徽“割圆术”的弧田图，除此外，其它点缀式数学史料都是在章头，用于引入教学的主题.如数列一章的章头，给出了斐波拉契关于兔子繁殖的问题（斐波拉契数列）和国际象棋的棋盘.

2附加式

B版教材中附加式数学史料是最多的.从各册教材的分布来看，很不均衡，其中数学4仅有1处.表2列出了B版教材中部分附加式数学史料.

从B版教材数学史料的存在形式看，基本上都以“阅读与欣赏”的形式存在.而从选择的内容来看，和人教A版教材的区别是比较明显的，A版教材中的附加式数学史料主要是对教材内容的补充，或是对教材内容的应用作一个简单介绍.B版教材中附加式数学史料冠以“数学文化”的小标题，主要是介绍教材中相关内容的历史的发生发展过程，或是与教材正文内容相关的数学家的简短传记，或是历史上一些有趣的数学故事.

3复制式

教材也仅有数学3与数学5中有复制式数学史料.这应该和两册教材的内容相关，数学3中“算法”一章，“算法化”是中国古代数学的主要特征之一.数学5中主要“数列”的内容，数学5中复制式数学史料都在数列一章中，涉及到的内容比较丰富，有斐波那契数列，还有《九章算术》《张丘建算经》《详解九章算法》等中国古代数学著作.比如给出了《九章算术》中“耗子穿墙”问题：“今有垣厚5尺，两鼠相对.大鼠日一尺，小鼠亦一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢？各穿几何？”[3]

在《数学3》“算法”一章的章末复习题中则直接运用了《张丘建算经》的“百钱百鸡”问题.

4顺应式

教材中顺应式数学史料的数量仅次于附加式史料，占教材中数学史料的32%，但从5册教材中数学史料的分布看，也很不均衡.

《数学1》“函数”一节中，简单介绍了函数概念的发展历程.在17世纪，伽利略在其著作《关于两种新科学的对话与数学证明》用s=12gt2来讨论自由落体运动，然后通过实例扩张了函数的内涵，最后给出了“集合的对应关系”的函数定义.同册“函数方程”一节中，介绍二分法时，回顾了历史上寻找高次方程公式解的历程，在此基础上说明“对于高次多项式函数，寻求函数零点近似解的必要性”.

《数学2》“圆的方程”一节中，利用赵州桥设置了一道例题.《数学3》中有5处顺应式数学史料.其中3处是在“算法初步”一章中，这一章在介绍了“更相减损术”“割圆术”“秦九韶算法”时都进行了必要的改编，用现代数学语言将它们的算法过程写出来.同册“概率”一章中，在引入概率的“统计定义”时，也是通过历史上掷硬币的试验来引入的.通过试验来说明“在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一个数值附近摆动，而且随着试验次数的增加，摆动幅度越小，频率呈现一定的稳定性”.

《数学5》“解三角形”一节中，介绍“等差数列前 n 项和”时，设置了如下问题，“堆放一堆钢管，最上层放了4根，下面每一层比上一层多放一根，共8层，这堆钢管共有多少根”？[2]这一类问题，中国古代许多数学家都做过相关研究，比如沈括《梦溪笔谈》、杨辉《详解九章算法》、朱世杰的《四元玉鉴》及清末著名数学家李善兰《垛积比类》等等.然后在课后习题设置了习题：“观察图1三角形数表，求第 n 行中各数之和.”这里的三角形明显是改编自“杨辉三角”，只不过是酒瓶装新酒，推陈出新而已.

同册“等比数列”中，在介绍等比数列前 n 项和公式时，利用国际象棋发明的故事，随后用庄子的“一尺之锤，日取其半，万世不竭”设置了一道例题，要求学生用等比数列的前n项和的知识对此进行解释.

5.重构式

《数学3》在引入算法的概念时，利用了“鸡兔同笼”的问题，然后分别用算术方法和代数方法，解决了此问题.在用代数方法解决问题时，显然要引进二元一次方程组，教材在此基础上，引入了一般的二元一次方程组，再引入高斯消元法.这里，教材的处理遵循了发生法，先从一个具体且有趣的问题出发，让学生通过算术方法和代数方法解决问题，然后比较两种解法各自的特点.再引入一般二元一次方程组，从特殊到一般，从简单到复杂，符合学生的认知发展.也让学生经历了数学知识“再创造”的过程，可以较好的激发学生的学习兴趣.

三、进一步分析

至此，对教材中数学1-5中的数学史料作了一个比较详细的讨论.为进一步分析教材中数学史料的使用情况，统计了五册教材中各种运用数学史料方式的数量.结果如表3.

由表3知，5册教材中数学史料的数量分别为9，7，14，4，16，总数为50.从每一册的数量来看，5册教材中的数学史料分布也极不均衡，最多与最少二者相差达到4倍之多.而从教材中数学史料的运用方式来看，主要是附加式和顺应式.从教材中数学史料的呈现方式看，显性方式达到了66%，隐性方式为34%

如表1，按数学史料的运用水平赋值，即水平1（点缀式）赋值为1，水平2（附加式）赋值为2，以此类推.考察B版教材中各册教材运用数学史料的水平及教材运用数学史料的总体水平.利用文献[1]中给出的计算公式，计算得到B版教材运用数学史料的水平为B=10×1+17×2+6×3+16×4+1×550=278.同样可以得到B版教材数学1-5的数学史料运用水平依次为211、214、286、2、306.这样就可以比较五本教材中数学史料的运用水平，显然，数学5是五册教材中运用数学史料水平最高的.

四、结论与建议

从数学史料内容在教材中出现的范围、次数及运用水平来看，应该说教材的编写者比较重视数学史料的融入.但通过对教材中数学史料的运用水平的分析，发现它们与将数学史料和数学课程内容有机结合的目标还存在一定的差距.为使教材中的数学史料更好的促进学生对数学知识的学习，教材中融入数学史料的数量及运用水平上都有待改进.

首先，教材中数学史料的融入，在数量上和运用方式上都应该有一个相对合理的分布.由表3知，数学史料在教材的分布都非常不均衡.从每一册教材来看，数学史料的分布都不均衡.数学4与数学5之间相差达到了4倍.再从教材中数学史料的运用方式来看，其分布也是很不均匀的.教材中仅有1处重构式数学史料.从整体上看，教材中数学史料的数量仅有50处，相对较少；在数学史料的运用水平上也比较低，教材中史料的呈现方式也以显性方式为主.

其次，从史料的具体内容来看，教材在数学史料的选择上是比较狭窄的.教材的数学史料主要集中于介绍我国古代数学，其中以数学3和数学5为甚.如数学3中，教材介绍了“更相减损术”“秦九韶算法”“割圆术”，而对与“更相减损术”一样的“欧几里得算法”则介绍较少.《数学5》第56页的“阅读与欣赏”栏目有“级数趣题”的内容，里面介绍了4个题目，都是中国古代数学著作中的，而实际上，最早的此类问题可以追溯到古巴比伦泥版书和古埃及的纸草书.如《莱因德纸草书》中有这样的问题“有一座庄园有7幢房子，每幢房子里面有7个人，每个人养了7只猫，每只猫每天吃7只老鼠，每只老鼠每天吃7棵谷穗，每棵谷穗能产生7赫卡特（赫卡特是古埃及的一种计重单位）的粮食，问这个庄园里共有多少东西”？[4]这一问题在后来的许多初等数学著作又有许多变式.教材中过于集中对中国古代数学成就进行介绍，而忽视国外数学家的成就，可能无法发挥数学史的重要教育价值，也不能让学生对数学产生整体的认识.因此，教材中数学史料的选择，除了向学生介绍我国古代数学成就外，也应该介绍国外相关的数学成果，中外兼顾.中国数学是世界数学内容的一部分，唯有把中国数学史融入世界数学史之中，让学生通过分析、比较，才能全面认识中国数学的优点与不足.也只有这样，才能帮助学生克服民族中心主义的偏见，以更广阔的视野去看待数学作为一种文化，对人类和社会发展所做出的贡献.

最后，表3的统计结果表明：教材中数学史料的呈现方式以显性方式为主.教材中有高达66%的数学史料以显性方式呈現，教材在数学史料的运用方式也以点缀式、附加式为主.教材中数学史料大都是置于教材正文内容之后，以阅读材料的形式出现，这样呈现的数学史料，系统性不是很强，与教学内容关系并不十分密切[5].从具体内容来看，也大都是浅尝辄止，没有展现数学思维发生发展的整体过程.如此，若要体现数学史的教育价值，就要求教师花费大量的精力搜集相关资料.但从实际教学而言，由于课时、考试等因素的限制，再加上一些教师本身数学史素养不是很高，让教师自己搜集资料，本身就是一件比较困难的事情.

同时，由于教材大部分的数学史料都以显性方式（点缀式、附加式、复制式）呈现，导致在实际教学中，数学史的运用浮于表面，使得教师和学生无法认识到数学史的教育价值.教师在对教材中显性数学史料的处理上很有可能走向两个极端[1]：一是直接弃之不管，让学生自己课后阅读；二是本末倒置，将数学史的融入变成了单纯的数学史教学.实际上，不论是中国大陆的数学教材，还是中国台湾地区的中学数学教材都存在这一问题[1，6].

运用“重构式”的方式将数学史料融入教材，首先需要对数学史料进行选择，确定相关数学主题的历史发展的关键步骤，然后再对史料进行加工、重构和再创造，这些都需要数学史专家的加入.数学史专家的加入，除了可以避免在教材中数学史料知识性错误的出现，提高教材编写的质量，还能对融入教材的数学史内容进行总体上的规划，注意数学史料使用的前后的连续性，使得教材中数学史料的呈现方式更为合理，更加符合学生的认知，方便教师的教学.

将数学史料融入教学的关键在于教师，而教材又是教师教授和学生学习的主要依据.从上述分析来看，教材中数学史的融入并不十分理想，数学教学也远没有达到“依历史而教育”.许多研究表明，教师在教学中很少使用数学史，主要原因是缺乏可供直接使用的数学史.主要表现在三方面[7]：一是没有相应的数学史料供教学使用；二是教师虽然有一些数学史知识，但却不知如何使用；三是对数学史料的教育价值认识浮于表面，认为数学史就是讲讲故事.因此，除了邀请数学史专家参加数学教材的编写外，还可以组织相关数学史专家、数学教育专家和数学家为数学教师编写用于教学的材料.美国数学教师协会就曾组织专家编写了《用于数学课堂的历史主题》（History Topics for the Mathematics Classroom），供数学教师在课堂教学中使用.这样，数学教师就可以在课堂教学中运用数学史，避免教学实践中“高评价，低应用”现象的发生.

参考文献：

[1] 覃淋.台湾初中数学教材中的数学史[J].中学数学杂志，2017（8）：33-37.

[2] 课程教材研究所，中学数学教材实验研究组.普通高中课程标准实验教科书B版 数学必修1-5 [M].北京：人民教育出版社，2013.

[3] 郭书春.九章筭术译注[M].上海：上海古籍出版社，2010.

[4] 卡茨.数学史通论[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5] 覃淋.大陸和台湾高中数学教材中数学文化内容的比较研究[J].中学数学，2018（3）：5-9.

[6] 覃淋.台湾高中数学教材中的数学史[J].数学教学，2018（2）：38-42.

[7] 覃淋，姚芳.数学史与数学教育研究现状及展望[J].首都师范大学学报（自然科学版），2018，39（3）：9-15.