赏析以数列为载体的八种创新题型

摘 要：近年来，以数列为载体的创新型试题频繁地出现在全国各地的高考试卷中，它们或内容立意新，或情境设置新，或设问方式新，或题型结构新，不仅较好地考查了学生的创新意识、创造性思维能力以及数学运算、逻辑推理、数学建模等数学素养，而且有效地甑别了考生进入高等院校继续学习的潜能本文结合实例谈一谈数学文化型、交汇整合型、规律发现型等八种数列创新题型及其求解策略.

关键词：数列；创新题型；求解策略

作者简介：蔡勇全（1980-），男，四川遂宁人，教育硕士，中学一级教师，研究方向：高中数学课堂教学与试题研究.

一、数学文化型

传统数学文化源远流长，是人类社会宝贵的知识与精神财富.只有通过弘扬与传承，才能释放其价值.数学文化型的数列创新题正是在这种朴素理念的支撑下诞生的新题型.它以现时事件或历史上一些数学名著中的某一段素材为背景，在基本不改变原意的前提下，巧妙地引出其中蕴含的数列问题，要求解题者求出该问题的结论，体现了数学的人文价值和科学价值.

例1 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节的容積之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（ ）.

A176升 B72升 C11366升 D10933升

解析 自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，…，a9，依题意可以得到

a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4.

因为a2+a3=a1+a4，a7+a9=2a8，故a2+a3+a8=32+43

=176，故应选A.

变式1 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还”其意：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人每天走多少里路则此人第五天走的路程为（ ）.

A48里 B24里 C12里 D6里

变式2 中国古代数学有着很多令人惊叹的成就.北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，最上一层长有a个，宽有b个，共计ab个木桶，每一层长宽各比上一层多一个，共堆放n层，设最底层长有c个，宽有d个，则共计有木桶n6[（2a+c）b+（2c+a）d+（d-b）]个假设最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层，则木桶的个数为（ ）.

A1260 B1360 C1430 D1530

评注 一般来说，数学文化型的数列创新题的难度适中，命题者会将深涩的古文译作通俗易懂的现代文，因此解题者不必心生畏惧，只需在准确理解现代译文的基础上，构建相应的数列模型，运用数列知识解出需要的数据，最后再回归实际问题即可.

二、交汇整合型

一般数列的离散、有序性以及特定数列的递推、趋向性等特点，决定了数列与其他数学知识之间有着千丝万缕的联系交汇整合型的数列创新题的基本特点是：形式多样，内涵丰富，交汇点多，常常和函数、方程、不等式、三角、复数、概率与统计、解析几何等知识融为一体，能够很好地实现学科内、学科间知识的交汇整合.

例2 设函数f（x）=2x-cosx，{an}是公差为π8的等差数列，若f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则[f（a3）]2-a1a2=（ ）.

A0 B116π2 C18π2 D1316π2

解析 因为f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，所以[f（a1）-π]+[f（a2）-π]+…+[f（a5）-π]=0.

即（2a1-cosa1-π）+（2a2-cosa2-π）+…+（2a5-cosa5-π）=0.所以[2（a1-π2）+sin（a1-π2）]+[2（a2-π2）+sin（a2-π2）]+…+[2（a5-π2）+sin（a5-π2）]=0.①

令g（x）=2x+sinx，易知g（x）为奇函数，又因g′（x）=2+cosx>0对任意x∈R恒成立，所以g（x）在R上单调递增

再构造数列{bn}，且bn=an-π2，易知{bn}为等差数列，且①式即为（2b1+sinb1）+（2b2+sinb2）+…+（2b5+sinb5）=g（b1）+g（b2）+…+g（b5）=0，结合函数g（x）的图象的对称性可知，b3=a3-π2=0，所以a3=π2.故a1=π4，a5=3π4，[f（a3）]2-a1a2=1316π2，故应选D.

变式 已知曲线Cn∶x2-2nx+y2=0（n=1，2，…）从点P（-1，0）向曲线Cn引斜率为kn（kn>0）的切线ln，切点为Pn（xn，yn）.

（Ⅰ）求数列{xn}与{yn}的通项公式；

（Ⅱ）求证：x1·x3·x5·…·x2n-1<1-xn1+xn<2sinxnyn.

评注 在教学中，既要让学生掌握基础知识和基本的数学思想方法，又要着力于提高学生的创新思维能力.认真研究、探索数列知识网络的交汇性，研究交汇点向外辐射的知识块，不仅能增强对学科知识的整体把握能力，又能提高分析和解决创新型问题的能力.

三、规律发现型

规律发现型的数列创新题的基本特点是：题目中给出某种数列的若干特殊数据或性质特征，要求归纳出该数列的一般规律、完善该数列的相应性质、类比推广到相关数列等.

例3 如图1，依次是按照某种规律排列的一系列图形中的第（1）～（4）个，由此可猜测第n个图形中共有个圆圈.

思路一 观察图1可以发现：它们的圆圈数依次为1，3，7，13，21，…设它们构成数列{an}，则a2-a1=2，a3-a2=4，a4-a3=6，a5-a4=8，…，按此规律，an-an-1=2（n-1）（n∈N，n>1），所以an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=1+2+4+…+2（n-1）=1+（n-1）（2+2n-2）2=n2-n+1.

思路二 观察图1可以发现：第一个图形只有一个中心圆圈；第二个图形除中心圆圈外还有两边，每边一个圆圈；第三个图形除中心圆圈外还有三边，每边两个圆圈；…按此规律，第n个图形中除中心圆圈外还有n边，每边n-1个圆圈，故第n个图形中圆圈的个数为n（n-1）+1=n2-n+1.

变式1 在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球，第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按如图2所示的方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，则第n堆的乒乓球总数f（n）=.

变式2 在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色先染1；再染两个偶数2，4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5，7，9；再染9后面的最邻近的4个连续偶数10，12，14，16；再染此后最邻近的5个连续奇数17，19，21，23，25按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2018个数是（ ）.

A3971 B3972 C3973 D3974

评注 从例3及其变式的解答过程可以看到，解决规律发现型数列创新题需要解题者具有较强的观察能力和快速探求规律的能力，因此在平时的教学中应注重这方面的训练和经验的积累.

四、现时约定型

现时约定型数列创新题的基本特点是：以已有的数列知识为基础，现时定义一个新的概念，然后围绕新概念设计一系列问题此类问题旨在考查学生独立获取、加工、理解信息和运用、迁移知识能力.

例4 已知数列{an}满足an=logn+1（n+2）（n∈N），定义使得a1·a2·a3·…·ak为整数的正整数k叫做“契合值”，则区间（6，2018]内的契合值的个数为，该区间内所有契合值的和为.

解析 因为an=logn+1（n+2）=log2（n+2）log2（n+1）（n∈N），所以a1·a2·a3·…·ak=log23log22·log24log23·log25log24·…·log2（k+2）log2（k+1）=log2（k+2）

因为a1·a2·a3·…·ak为整数，所以可令k+2=2m（m∈N），则k=2m-2，由6<2m-2≤2018，解得4≤m≤10（m∈N），故在区间（6，2018]内的契合值有7个，它们的和为（24-2）+（25-2）+…+（210-2）=2018.

变式 把形如M=mn（m，n∈N）的正整数M表示成各项都是整数，公差为2的等差数列的前m项的和，称为“对M的m项分划”.例如，把9表示成9=32=1+3+5，称为“对9的3项分划”；把64表示成64=43=13+15+17+19，称为“对64的4项分划”据此，对324的18项分划中最大的数是；若M=m3的m项分划中第5项是281，则m的值是.

评注 例4及其变式代表了现时约定型数列创新题的两种最常见形式，即定义新名词性术语与定义新规则性术语.解决此类问题时，应充分理解新定义，并紧扣新定义与所学知识的关系，从而找到解题突破口.

五、数表（阵、组）型

数表（阵、组）型数列创新题的基本特点是：将一些数排成长方形、三角形、数组的形式，就形成了数表、数阵等形式，要求学生研究某行、某列、某組或所有行（列、组）所具有的特殊性质.

例5 在n行m列的方格表中每一个方格都填上一个数，使得每一行的m个数与每一列的n个数都成等差数列，如果表的四个角上的数之和等于S，则此表中所有数的和等于.

解析 题设表格的每一行、每一列都是等差数列，因此这是一个等差数表，故最上面的第一行各数的和为a11+a12+…+a1m=（a11+a1m）m2，最下面的第n行各数的和为an1+an2+…+anm=（an1+anm）m2，各列中的数的和依次为（a11+an1）n2，（a12+an2）n2，…，（a1m+anm）n2如表1所示：