对2018全国卷Ⅲ理科21题（2）的研究*

☉四川省泸州市泸州高级中学 吕荣春

☉四川省内江师范学院数学与信息科学学院 刘成龙

多数高考试题背景新颖、构思巧妙，具有示范性、典型性，是教学研究的良好素材.研究高考试题有利于体会试题立意、弄清试题背景、揭示试题本质、拓宽试题解法、加强试题变式.2018年高考数学全国卷Ⅲ理科21题（下文简称21题）具有一定的深度、广度和区分度.文中将研究21题的解法、背景和变式，以飨读者.

一、试题及简评

试题（21题）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x.

（1）略；

（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a.

简评：上述试题是全卷的压轴题，对学生创新能力、创造能力要求极高.从构成要件来看，试题不偏不怪；从命题背景来看，试题含有深刻的高等数学背景，比如洛必达法则、马克劳林公式、帕德逼近等；从解答来看，试题看似简单，但很难入手，参考答案涉及多次构造，难度极大.总之，试题对考生创新考查极高，具有极强的选拔性.

二、解法研究

研究试题解法是研究高考的基本形式和主要内容.对高考试题的解法研究一般可从一题多解、多题一解、解答失误分析、解答策略提炼等视角展开.其中，一题多解指的是对一道试题所涉及内容从横向和纵向进行把握，立足于不同的角度，运用不同的方法进行探讨，进而获得多种解法.下面给出21题（2）的四种解法，希望读者感受解法间的差别与联系.

方法1：（i）若a≥0，由（1）知，当x＞0时，

f（x）＞（2+x）ln（1+x）-2x＞0=f（0），

这与x=0是f（x）的极大值点矛盾.

由于当｝时，2+x+ax2＞0，故h（x）与f（x）的符号相同.

又h（0）=f（0）=0，故x=0是f（x）的极大值点，当且仅当x=0是h（x）的极大值点.

若6a+1＜0，则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1＜0，故当x∈（x1，0）时，且|x|＜min｝时，h′（x）＜0，所以x=0不是h（x）的极大值点.

评注：上述解答是考试中心给的参考答案.一线老师们普遍反映该答案看不懂，我们认为看不懂的原因有两个：①解答中涉及多次构造，比如，令很难想到，取很难想到；②“h（x）与f（x）的符号相同，x=0是f（x）的极大值点，当且仅当x=0是h（x）的极大值点”.这一结论很难想到.事实上，当（a为正常数）时，x=x0是f（x）的极大值点，当且仅当x=x0是h（x）的极大值点很容易接受，但是解法中2+x+ax2是一个恒大于0的代数式，会不会影响的极值点呢？这需要给出证明，但解答中没有.因此，我们可以认为参考答案不严谨，有待改进（在另文中给出）.

由δ→0-，得

评注：李邦河院士指出：“数学根本上是玩概念的，而不是纯粹的技巧.”［1］方法2正是从极值点的定义出发，将问题转化为两个充分小区间上的恒成立问题，解答思路自然、流畅，回避了方法1中的构造.解答中运用了洛必达法则这一高等工具，同时还涉及夹逼的思想，这要求学生具备一定的高等数学知识.据阅卷场反馈的信息来看，很多考生都会想到洛必达法则，但最后都没有做出来，是因为陷入了套路：分离参数—求新函数的单调性—洛必达法则求最值.但解答本题套路失效，需要借助极值点定义来处理，这一“首发效应”使得一些考生手足无措.

方法3：引理［2］极大值点的第三充分条件：若f（x）在x=x0处有n阶导数，且f（k）（x0）=0（k=1，2，…，n-1），f（n）（x0）≠0，则

（1）当n是偶数时，f（x）在x=x0处取得极值，且当f（n）（x0）＜0时取极大值；当f（n）（x0）＞0时取极小值.

（2）当n是奇数时，f（x）在x=x0处不是极值.

f（3）（x）=，由f（3）（0）=6a+1，若6a+1≠0，则由上述引理可知，x=0不是极值点，所以，此时f（4）（0）=-2<0，可得x=0是极大值点.

评注：方法3运用极值的判定定理来解答，这是对方法2的进一步深化，解答中涉及3次求导，尽管运算量较大，但思路直接，能缩短思考时间，值得关注.

方法4：由（1）知，当x∈（-1，0）时，ln（x+1）＜；当x＞0时

三、背景分析

试题背景指命题时选取素材中含有的知识、模型、问题、文化、思想和方法等.试题背景凸显试题立意，引领试题编拟方向.研究试题背景，可以准确把握试题本质、理解试题设问方式、拓宽试题解法、加强试题变式.常见试题背景有教材背景、现实背景、高考数学背景、高等数学背景、竞赛数学背景、数学史背景等.［3］下面重点分析试题的帕德逼近这一高等数学背景.

表1 y=ln（x+1）在（0，0）处到R（3，3）阶的帕德逼近表［4］

n m 1 2 3 0 x 2 x-x 2 6 x-3 x 2+2 x 3 2 6 1 2 x 2+x 6 x+x 2 4 x+6 2 4 x+6 x 2-x 3 2 4+1 8 x 2 1 2 x 1 2+6 x-x 2 6 x+3 x 2 6+x+6 x 2 3 0 x+2 1 x 2+x 3 3 0+3 6 x+9 x 2 3 2 4 x 2 4+1 2 x-2 x 2+x 3 9 0 x+5 7 x 2 9 0+1 0 2 x+2 1 x 2-x 3 6 0 x+6 0 x 2+1 1 x 3 6 0+9 0 x+3 6 x 2+3 x 3

从表中可以看出：y=ln（x+1）在（0，0）处的（1，2）阶的帕德逼近函数为（*），将（*）变形为y=（※）.显然，用a替换（※）中的，即为21题中ln（x+1）的“系数”.

可见，熟悉帕德逼近这一高等背景对21题的认识会更加深刻.顺带指出，y=ln（x+1）在（0，0）处的（1，1）阶的帕德逼近函数为，这正是解法4中所运用的不等式ln（x+1）同时，由马克劳林公式得，这恰好是帕德逼近第一行，由此可见马克劳林展开式可以视为帕德逼近的特例.

四、试题变式

变式是指相对于某种范式，不断变更问题情境或改变思维角度，使事物的非本质属性时隐时现，而事物的本质属性保持不变的变化方式.陈景润先生指出：“题有千变，贵在有根.”基于帕德逼近和马克劳林展式这一“根”可以演变出无穷无尽的试题，如下：

（1）若a=0，证明：f（x）＞0；

（2）若x=0是f（x）的极小值点，求a.

（1）若a=0，证明：当-1＜x＜0时，f（x）＜0，当x＞0时，f（x）＞0；

（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a.

评注：马克劳林展式为多项式函数，从导数运算角度看较为简单.变式1、2中设置的函数正好源于马克劳林级数

（1）若a=0，当x∈（0，π）时，证明：f（x）＜0；

（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a的范围.

高考试题的研究视角很多，比如：试题的布局、立意、背景、解法、变式、推广、优化等等.文中从解法、背景和变式对21题（2）进行了深度研究，权

表2函数f（x）=cosx在（0，0）处的到R（4，4）阶的帕德逼近表作抛砖引玉，希望大家从不同视角对21题提出新的见解.

n m 024 0 1 2-x2 2 24-12x2+x4 24 2 2 2+x2 12-5x2 12+x2 120-56x2+3x4 120+4x2 4 24 24+12x2-7x4 150+14x2 150+89x2+7x4 15120-6900x2+313x4 15120+660x2+13x4