以错误为载体，培养学生的数学思维

☉江苏省海门市证大中学 张志华

在考试或练习的时候，学生总会出现各种各样的错误.就数学教学而言，这些错误也是一种非常好的教育资源，对发展学生的思维品质大有帮助.

一、厘清逻辑，关注思维准确性的培养

例1已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=-1时存在极值为零，请确定m和n的取值.

学生在处理本题时，出现以下错误解法：

因为f′（x）=3x2+6mx+n，结合题意可得

就上述问题的处理来讲，需要学生灵活进行化归和转化，而且在求解最后的结果时，学生还要结合题设条件，能够对问题进行巧妙地变形.就函数的极值问题，学生还必须意识到针对函数f（x），“f′（x0）存在且等于0”是“函数f（x）在x=x0时取极值”的必要不充分条件.换言之，学生必须在逻辑层面区分条件的必要性和充分性，若逻辑混乱，则必然导致思路模糊，最终的处理必然会出现偏差.因此，在进行问题分析和解决时，学生采用某些知识和方法来处理问题时，厘清逻辑关系是第一要务，它是思维准确性的基本前提.

二、设置问题，关注思维严密性的培养

例2 已知集合A={x|ax2+x+1=0，x∈R，a∈R}有且只有一个元素，求实数a的值.

学生在分析这个问题时，给出了以下错误解法：

因为ax2+x+1=0只有一个实数根，

上述问题出现在学生对集合概念的认识过程中，是严格意义上的高中数学入门课，我们在这一课上尤其要关注学生思维的培养.学生也没有让老师“失望”，绝大多数学生出现了上述意料之中的错误.因为学生对一元二次方程太过熟悉，思维定式产生了很强的负面影响——看到带有二次项的方程式就想到了根的判别式和求根公式.当学生将错误暴露出来之后，笔者认为，我们学生的软肋不在于对集合概念的把握，而在于思维上没有准确把握方程.为了帮助学生提出针对性的引导，笔者对问题进行了更进一步地设计，将问题转化为“既然方程ax2+x+1=0只有一个实数根”，再明确提出问题：“这个方程属于什么方程？”这个问题就非常明显了，很快有学生给出了不同的意见，不少学生指出：“方程的二次项系数为a，这个参数的取值要进行讨论，若a=0，则方程为一元一次方程，x的值等于-1，也是一个实数根；若a≠0，则属于一元二次方程，可以按照原先的做法来解答.”

三、一题多变，关注思维深刻性的培养

例3 现有△APB是一个直角三角形，其中∠P=90°，∠A=60°，AP=1，现在从顶点P引出一条射线l，与AB边的交点为D，求AD长度小于1的概率.

学生在处理本题时，出现以下错误的解答：

如果AD边恰好等于1时，那么D点恰好为AB的中点，

对于学生所暴露出的错误，笔者在教学中没有当即给出评价，而是引导学生再尝试分析一道变式：“现有△APB是一个直角三角形，其中∠P=90°，∠A=60°，AP=1，现在AB边上任意取一点D，求AD长度小于1的概率.”面对这个变式问题，学生的处理方式和原先例题的处理完全一致，为此笔者提醒学生概率的关键还是在于试验.经过提醒，学生意识到，原题的试验是“现在从顶点P引出一条射线l，与AB边的交点为D”，l在这个角度中所出现位置的可能性都是均等的，因此最终应该用角度之比来确定概率大小；后来变式问题的试验是“现在AB边上任意取一点D”，这里D点在线段上所出现的位置都是等可能的，因此可以用线段长度之比来确定概率的大小.

面对学生所出现的错误，笔者灵活设计变式问题，为学生提供了两个极其相似的问题情境，由此让学生展开比较和分析，这两个问题也就只有几个文字的差别，但是其本质却出现了很大的差异，可以说是“一语惊醒梦中人”.很多时候也是这样，当问题孤立出现时，学生很难产生深度思考和比较的意识，但是一旦问题以对比的形式展示在学生的面前时，学生将自发地溯本求源，探求事物的本质，进而对几何概型形成更加深入的认识和理解，这样他们也将对其他相同类型的问题产生深层次的思考.为此，我们在教学实践中，可以采用一题多变，并且培养学生对数学对象本质属性的探究能力，有助于学生思维深刻性的发展.

四、一题多解，关注思维批判性的培养

生1：结合基本不等式的有关理论，由于a＞0，b＞0，所以有0，由①可得最小值为8.

大部分学生都采用了生1的解答方法，第二种方法也不能说毫无道理，两种貌似都合情合理的解题方法却得出了两个截然不同的答案，这是怎么回事呢？面对学生答案中出现的矛盾，笔者没有给出直接的评价，而是鼓励学生再变换角度，是否还能提出一些其他的处理方法.

生3：我采用三角换元来进行处理，由于a＞0，b＞0，所以可以假设a=sin2x，b=cos2x，则

随后，又有学生从柯西不等式、构造法等多种角度着手，最终确认了答案应该为9，他们自然也就发现了原本方法是错误的，那错在哪里呢？这时，笔者就引导学生刨根究底，指导学生进行深度地发掘和探索，他们经过比较发现，几乎所有的解题方法（除了柯西不等式之外），都用到了基本不等式，所不同的是第一种方法使用了两次，而最终最值成立的根本条件在于两次基本不等式的等号都要成立，这样学生也就明确了为什么之前发生错误，因为两个等号不能同时成立.

客观来讲，上述第一种做法是学生普遍会犯的错误，而且虽然教师屡次强调，但是学生还是会在类似的地方犯下类似的错误，这其实也反映着学生在批判性思维方面的缺失，教学过程中，我们创造条件，让学生通过一题多解的方式来对自己的思路进行剖析，这样的教学有助于学生提升对问题的认识，有助于学生进行更加深刻地反思.

五、转换思维，关注思维灵活性的培养

生1：本函数是两数乘积的形式，应该可以从基本不等式的角度展开分析.由于0＜x＜，所以这个数都是正数，因此有（但是问题来了，不等式的右边并不等于常数，怎么确定最值呢？学生的处理陷入僵局）

生2：可以将f（x）的二次项拆解一下，拆成两个一次项的乘积形式，这样可以使得不等式右侧化为一个常数，即f（x）=x·x·（1-3x）≤

生3：不等式的右侧距离等式还有一点点距离，可以继续这样处理：

在高中数学教学中，学生面对困难无法突破的原因在于缺乏切入点，因此教师要鼓励学生展开讨论，并在讨论中获得启发并促成思维的转换.在上述讨论的过程中，学生仅仅完成拆项操作之后却没有将问题解决，但是另外的同学又通过自己的思考将思路向前推进了一步，但是问题还是没有解决，因为要去等号，需要三项都相等，所以在更进一步地思考中，学生发现可以将二次项拆成两个相等项的乘积x， 由此可以发现最终是在时，有最大值为

犯错并不可怕，但是要将错误转化为学生思维发展的土壤，这就需要教师细致入微地分析和研究，需要教师在教学中随机应变地创造，更需要教师教学智慧的发挥.