由一道极值点偏移不等式引发的探究

☉山东省肥城市第一高级中学 阴嘉辉

题目 已知函数（fx）=ex+1-x2-2ax+1（a∈R）有两个极值点x1，x（2x1＜x2），求证：x1+x2＞-2.

分析：通过求导，由于函数（fx）的两个极值点x1，x2，可得两个对应的方程，而对应的两个变元x1，x2不能通过相互表示来达到减少变量个数的目的，那么就得巧妙通过对应的方程之间的运算后再合理换元，减少变量个数，再通过构造函数，利用求导以及函数的单调性等来转化与证明；也可采用运算后利用对数平均值不等式来处理，显得更为简单快捷；采用极值点偏移法也可达到证明的目的.通过相应的方程式的加减运算变形，利用分析法，通过t=x2-x1的整体形式换元处理，进而通过构造函数，结合导数以及函数的单调性来证明即可.

证法1：由（fx）=ex+1-x2-2ax+1，可得f（′x）=ex+1-ax-2a，而f（″x）=ex+1-a.

当a≤0时，f（″x）＞0，f（′x）单调递增，且至多有一个零点，则（fx）至多有一个极值点，与题意矛盾，于是a＞0.

令f（″x）=0，可得x=lna-1.

而函数（fx）有两个极值点，则有f（′lna-1）=-alna＜0，解得a＞1.

由题可知，f′（x）=ex+1-ax-2a=0的两个解为x1，x2（x1＜x2），

两式相加可得ex1+1+ex2+1=a（x1+x2+4）. ①

要证x1+x2＞-2成立，即证成立，亦即证ex1+1+ex2+1＞2a成立， ②

上述不等式的两边同时除以ex1+1，可得即证1+ex2-x1＞

令t=x2-x1＞0，即证，亦即证（t-2）et+t+2＞0，t＞0.

构造函数g（t）=（t-2）et+t+2，t＞0，可得g′（t）=（t-1）et+1，g″（t）=tet，

由于t＞0，则由g″（t）＞0知，则g′（t）在（0，+∞）上单调递增，则有g′（t）＞g′（0）=0，

则进一步可知，g（t）在（0，+∞）上单调递增，

则g（t）＞g（0）=0，则证得（t-2）et+t+2＞0，t＞0成立，

根据以上分析可知，x1+x2＞-2成立.

通过相应的方程式的作商运算变形，通过ex1-x2=的整体形式换元处理，进而把x1+x2表示成参数t的关系式，通过构造函数，结合导数以及函数的单调性来证明即可.

证法2：由（fx）=ex+1-x2-2ax+1，可得f（′x）=ex+1-ax-2a，而f（″x）=ex+1-a.

若f（″x）＞0或f（″x）≤0，则f（′x）单调递增或递减，f（′x）至多有1个解，与题意矛盾，故必有f（″x）=0.

令f（″x）=0，可得x=lna-1，

而函数f（x）有两个极值点，则有f′（lna-1）=-alna＜0，解得a＞1.

由题可知，f′（x）=ex+1-ax-2a=0的两个解为x1，x2（x1＜x2），

可得x1-x2=lnt，与联立解得

可得

故φ（t）在（0，1）上单调递增，则有φ（t）＜φ（1）=0，

则有g′（t）＜0，则进一步可知，g（t）在（0，1）上单调递减.

根据洛必达法则可知，

通过相应的方程式的两边取对数来进行运算，再结合对应关系式的作差变形，通过的整体形式换元处理，进而把x1+x2表示成参数t的关系式，通过构造函数，结合导数以及函数的单调性来证明即可.

若a≤0，f″（x）＞0，f′（x）单调递增，不符合题意，故a＞0.

令f″（x）=0，可得x=lna-1.

而函数f（x）有两个极值点，则有f′（lna-1）=-alna＜0，解得a＞1.

由题可知，f′（x）=ex+1-ax-2a=0的两个解为x1，x2（x1＜x2），

故φ（t）在（0，1）上单调递增，则有φ（t）＜φ（1）=0，

则有g′（t）＜0，则进一步可知，g（t）在（0，1）上单调递减.

根据洛必达法则可知，

通过相应的方程式的两边取对数来进行运算，再结合对应关系式的作差变形，得到利用对数平均值不等式加以转化即可得以证明.

证法4：由（fx）=ex+1-x2-2ax+1，可得f（′x）=ex+1-ax-2a，而f（″x）=ex+1-a.

若a≤0，f（″x）＞0，f（′x）单调递增，不符合题意，故a＞0.令f″（x）=0，可得x=lna-1.

而函数f（x）有两个极值点，则有f′（lna-1）=-alna＜0，解得a＞1.

由题可知，f′（x）=ex+1-ax-2a=0的两个解为x1，x2（x1＜x2），

两式相减可得x1-x2=ln（x1+2）-ln（x2+2），

则有（x1+2）-（x2+2）=ln（x1+2）-ln（x2+2），

通过相应的方程式的两边取对数来进行运算，利用构造函数g（x）=x+1-ln（x+2），此时满足g（x1）=g（x2）=lna＞0且g（-1）=0，通过分类讨论，结合极值点偏移法，根据函数构造函数F（x）=g（x）-g（-2-x）的单调性并结合g（x）在对应区间的单调性来确定相应的不等式，进而证明对应的不等式成立.

通过从多个不同角度来处理，巧妙把该题的底蕴充分挖掘出来，多角度出发，多方面求解，真正体现对数学知识的融会贯通，充分展现知识的交汇与综合，达到提升能力、拓展应用的目的.进而真正达到在学中“悟”，在“悟”中不断提升解题技能.正如我国著名数学家苏步青先生说过：“学习数学要多做习题，边做边思索，先知其然，然后知其所以然.”W