联合数学思想方法，积累问题解决的经验

黄秀文

【摘要】《义务教育数学新课程标准》（2011版）在总目标里明确提出要增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。要将这一目标落实到课堂中，就要求教师要探索可操作的教学策略提高学生的四能。而数学基本思想方法的使用对问题解决可以收到化难为易的效果，对于学生四能的培养也发挥着重大作用。笔者就如何应用转化思想、数形结合、类比思想、模型思想等四种数学思想方法，帮助学生分析、解决问题，积累问题解决的经验进行阐述。

【关键词】数学思想方法 问题解决 积累经验

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）31-0127-02

一、用數形结合，直观信息

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。问题解决的题目多数以抽象的、枯燥的文字和数据呈现，不便于学生思维从具体发展到抽象，不利于分析问题。借助数形结合，便可以将抽象信息直观化。

[案例]新人教版五上的p74《实际问题与方程例2》

本题如果用算术方法解题，需要逆向思考，思维难度较大，易出现错误。提倡列方程解答，找出数量关系便是解题的关键。分析数量关系，仅依靠题中文字“白色皮共有20块，比黑色皮的2倍少4块”，少数学习品质高的学生易明白其中的数量关系，但学习品质中下的学生面对抽象的文字，要找出等量关系式有难度。此时，便可以将数与形结合起来理解，如图：

这样的线段图，将黑色皮与白色皮之间的数量关系直观化，这对于后进生理解题意有很大帮助。数形结合的应用，也不是一朝一夕就可以形成。需要执教教师从低年级起培养，从简单具体的实物图，示意图逐步发展到简洁抽象的线段图；从执教教师示范画图到学生模仿画图，到最后学生根据信息独立画图，逐渐培养应用数形结合的方法来呈现信息，逐步积累自主画图分析问题、解决问题的经验。

二、用转化思想，简化问题

转化思想， 它是指将不熟悉的、未知的、复杂的问题通过演绎归纳转化为熟悉的、已知的、简单的问题，从而使问题顺利解决的数学思想。随着年级的增长，数学问题越来越有探究性，同时随着数学知识的螺旋式的发展，前后知识联系密切，并有一系列问题是同种类型的问题，解题方法可以迁移，可以转化。学生可以原有的问题解决的经验上发展新经验。

[案例1]新人教版四下的p68《四边形的内角和》

本课是在《三角形的内角和》后继续探究《四边形的内角和》，学生根据前一节课问题解题经验，容易想用测量和剪拼的方法解决问题。如何在已有经验的基础上发展新经验，需要执教者引导学生观察发现新旧问题之间的关系，能不能把未知的问题转化为已知的问题，即将求四边形的内角和转化为求三角形的内角和，借助已有的结论解决问题，积累转化问题、解决问题的新经验。

[案例2]新人教版五上的p87《四边形的内角和》

在本课之前，学生已有计算长方形和正方形面积的基础，学生也易想到用格子测量。为了更准确的数格子，通过移和拼将不满一格的拼在一起数。再进一步的追问：不数方格，能不能计算平行四边形的面积呢？引发学生观察思考平行四边形与长方形之间的联系，找到转化的契机，通过剪拼将平行四边形转化成长方形，将不熟悉的问题转为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题。

可见，转化思想在问题解决中一种好方法，也是一种可借鉴的经验。但是转化的时机，转化的结果都是根据学生的学习情况，在平时就要多引导学生观察对比一类事物之间的区别与联系，在解决问题时寻找合适的时机，顺水推舟，将未知的转化为已知的，问题也就迎刃而解。

三、用类比思想，迁移方法

类比，就是根据两类事物在某种属性上相似或相同，而推出它们在其他属性上也可能相似或相同的推理方法。[1]在问题解决过程应用类比思想方法，特别是类比问题解决方法可以帮助学生理解，化难为易，提高课堂效率。

[案例]新人教版六上的p3《分数乘法》

本课是通过复习和唤醒学生整数乘法的数量关系，在引出分数乘法。引导学生通过类比前后问题的联系，都是根据“单位量×数量=总量”的关系列式。有了相同的数量关系式后，把单位量换成分数，依旧要用乘法解决，学生很快就可以列出分数乘法的算式来解决问题。

类比思想在数学问题解决中常见的方法，以上“单位量×数量=总量”的关系式，在数学问题里也有类似的关系，如工程问题与行程问题。在教学这些问题时，可以通过类比他们之间的联系，整合新旧知识之间的联系，不断应用和积累问题解决的经验，提升问题解决能力。

四、用模型思想，固化结论

模型思想，对现实问题从量的方面进行数学抽象，所得到的用数学符号表达的数学对象成为数学模型，建立和研究客观事物的数学模型，从量的方面来揭示数学对象本质特征和变化规律。[2]从广义角度讲，数学的概念，定理，规律，法则，公式，性质，数量关系式，图表，程序等都是数学模型。而数学模型思想在问题解决中应用，根据一棵的研究学习，建立数量关系等，能够帮助解决一类问题，实现经验间的联结，形成知识系统化发展。

[案例]新人教版五上的p106《数学广角-植树问题》。

教学时，首先将复杂的100米小路转化成在一段长20米的路的一旁，每间隔5米种一棵树，可能种几棵树？整个探究过程是开放的，学生根据自己的经验和能力解决了问题。教师设计了一个开放的问题，一个大胆发言的环境，一个充分对话的过程，让学生在解决问题过程中发现植树问题有多种形式，启发学生借助线段图或直观图来说明，提高了学生的分析力和判断力，同时初步总结出栽树的棵树与间隔数之间的关系。在第一次20米路的问题解决的模型下，学生通过在30米、40米上加以验证。经历一个借助数形结合，同时让学生充分尝试体验的基础上通过不完全归纳总结规律，完成构建“棵树与间隔数之间关系”的模型。

模型的构建，有利于学生切实理解和掌握某一类问题的解决途径和方法。这在问题解决过程，要引导学生善于观察与发现事物的特征，善于归纳与总结事物之间的联系，实现通过一个问题的研究来形成模型，再将这类问题的模型和解题经验延伸到相关的问题。同时要注重生活问题与数学问题的沟通与转化，活用模型思想解决问题。

五、结束语

小学数学阶段，数学思想方法还有很多，笔者主要以以上四种常见的思想方法为例，浅谈如何结合他们提升问题解决的能力。在联合数学思想方法时，要注重分析教材，分析学情，特别是学生已有的知识、技能和经验基础，再选择适合的数学思想方法，经历一个发展经验——应用经验——建立新经验的过程，旨在帮助学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，将数学问题解决系统化、结构化，逐步提高学习能力，促进全面发展。

参考文献：

[1]吴茗.浅谈小学数学教学中类比的运用[J].读与写：教育教学刊， 2012（9）：217.

[2]张茹华.小学数学思想方法及其教学研究[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2009（2）：8-11.