结构化思维：数学结构化教学的价值指向

翟新伟

【摘要】数学“结构化思维”是学生数学核心素养的重要标识。“结构化思维”是一种层析性、系统性、本质性、迁移性的思维方式。在教学中，教师可以通过整体呈现、过程探究、反思追问和活化运用等方式，展开结构化教学。结构化教学能够统驭数学“结构化知识”，催生学生的数学“结构化思维”。

【关键词】结构化思维 结构化教学 价值指向

当下，小学生数学“核心素养”的培养已经成为数学教学的价值取向。“核心素养”是什么？仁者见仁，智者见智，但也渐渐达成了一些共识。北京师范大学心理学教授林崇德教授认为，核心素养是一种结构化的学习能力。《教育研究》杂志主编袁振国则深刻地指出，“知识的问题关键不是多少的问题，而是结构的问题，不是教多少的问题，而是怎么教的问题。”对于数学学科而言，结构化学习能力更深刻地表现在结构化思维能力上。什么是“结构化思维”？结构化思维就是一种层析性、系统性、本质性、迁移性的思维。那么，如何形成学生的“结构化思维”呢？笔者认为，数学的结构化教学有助于培育学生的结构化思维。

一、整体呈现，培养学生“系统性思维”

数学知识是一个整体，数学知识之间存在着千丝万缕的联系。某种意义上，数学教材将数学知识分门别类只是为了教学的需要。教学中，教师要立足知识整体，从知识整体上把握各个知识点。教师要有瞻前顾后、左顾右盼的解读教材的眼光，洞察每一个知识点的源与流，把握知识点的来龙去脉。对某些相关知识点的教学，教师可以整体呈现，以此培养学生思维的深刻性，让学生“见树木，更见森林”。引导学生将相关的知识点能动地纳入学生的原有认知结构之中。

例如：教学苏教版六年级上册《分数除法》这一单元，对于“分数除法应用题”的教学，许多教师还在进行特征分析——“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”。由于学生在“分数乘法”单元已经学习了“求一个数的几分之几是多少”内容，因此这种归纳无疑增加了学生对知识点的理解难度，学生在解决问题时经常将这两类问题混淆。笔者在教学中，整体呈现问题，如（1）果园里有果树600棵，其中桃树占总果树棵数的■，桃树有多少棵？（2）果园里有桃树360棵，占总果树棵数的■，果树一共有多少棵？引导学生进行比较，得到良好的教学效果。学生在比较中发现，两道题最本质的地方相同，即“桃树占总果树棵数的■”，所不同的是：第一道题单位“1”的量是已知的，第二道题的单位“1”的量是未知的；第一道题的已知量在第二道题中是未知量，第一道题的未知量在第二道题中是已知量。因此，学生认为，这两道题的基本数量关系是相同的，解题思路也是相同的。尽管第二道题单位“1”的量未知，但我们完全可以设未知数，借助列方程解应用题来解决。这样的教学，将分数除法应用题的内容与分数乘法应用题的内容有效对接，真正实现了知识整合。在解决问题的过程中，学生的思维变得活跃了。

整体性呈现问题，将问题置于比较情境之中，有助于培养学生串式思考、网状思维能力，有助于培育学生“举一反三”“触类旁通”的学习迁移能力。学生对数学问题主动辨析、比较中，体会到数学知识间的联系，学生的数学认知获得质的提升，思维深度得到真正开掘。

二、过程探究，培育学生“层次性思维”

在数学教学中，教师要引导学生进行过程性探究，从条件入手，对照问题展开深入分析，从而由因导果，建构解决问题的方案；或者从问题入手，层层分析解决问题所必需的条件，执果索因，建构解决问题的方案。在解决问题教学中，要引导学生有序、有理、有向思维，厘清要解决怎样的问题，需要怎样的条件等，避免出现“眉毛胡子一把抓”的解决问题现象。

例如：教学《三角形的内角和》这一课时，笔者引导学生分多个层次展开探索，有的学生采用“测量法”，探索出三角形的内角和为180°左右；有的学生采用“撕角法”，将三角形的三个内角拼成一个平角，探索出三角形的内角和是180°；还有的学生运用“折角法”，将三角形的三个内角折到一起，探索出三角形的内角和是180°。这时，有的学生认为三角形的内角和是180°，但也有部分学生表示怀疑，认为三角形的内角和在180°左右。为此，笔者再次引导学生展开层次性探索，一是探索特殊的三角形——直角三角形的内角和；二是探索锐角三角形和钝角三角形的内角和。在探索直角三角形的内角和时，笔者出示了一个长方形，引导学生思考长方形和直角三角形之间的关系。有的学生发现，两个完全相同的直角三角形可以拼成一个长方形；有的学生认为，任意一个长方形都可以沿着对角线分成两个完全相同的直角三角形。学生由此发现，任意直角三角形的内角和都是180°。为了深化学生的数学思维，助推学生的数学思维不断爬坡、深化，笔者出示了一个锐角三角形、一个钝角三角形，借助辅助线将锐角三角形和钝角三角形沿着高分成了两个直角三角形。学生运用直角三角形的内角和是180°展开严密的推理发现任意一个三角形（含任意一个锐角三角形和任意一个钝角三角形），都可以分成两个直角三角形，每一个直角三角形的内角和都是180°。因此，锐角三角形和钝角三角形分成的两个直角三角形的内角和是360°。用这两个直角三角形的内角和减去高所在的两个直角和也就是180°，就能得到三角形的内角和是180°。学生从特殊到一般，有理有序有据，层层归纳出三角形的内角和。在整个学习过程中，归纳与演绎圆融，实验与思想对接，思维与创造共生。

教师引导学生从自己的已有经验出发，借助操作实验，展开自主探究，形成准科学结论。在此基础上，引导学生借助演绎推理推出直角三角形、锐角三角形和钝角三角形的内角和。最后运用完全归纳法形成结论——三角形的内角和是180°。在整个学习过程中，学生的数学思维逐步深入。

三、反思追問，培养学生“本质性思维”

数学结构化教学不仅要遵循数学知识本身的逻辑，而且要顺应学生的认知规律。教学中，教师要引导学生展开反省性追问，追问数学知识点的源与流，在追问中引导学生刨根问底，培养学生的本质性思维。只有通过不断反思、追问，学生才能洞察数学知识的来龙去脉，才能对知识点在知识结构中的节点位置、知识点之间的关系有深刻的把握，才能对知识点的动态发生、发展和融合有所领悟，才能举一反三、融会贯通。

例如：“平行四边形的面积”是小学阶段平面图形面积教学的重要内容，它承上（长方形面积）启下（三角形、梯形的面积），从转化思想的渗透来看，这是图形面积转化的第一堂课，具有“种子课”的意义和价值。教学中，在学生运用“割补法”推导出平行四边形的面积后，教师要引导学生展开适度追问，提升学生的数学活动经验，将感性的操作提炼成理性的数学思想和方法。

追问1：为什么要将平行四边形转化成长方形？（用数方格的方法比较麻烦，转化成长方形就可以运用公式进行计算）

追问2：为什么要沿着高将平行四边形分成直角梯形、直角三角形或者两个直角梯形？（只有沿着高剪开，才能产生直角，进而将平行四边形转化成长方形）

追问3：在转化的过程中，什么发生了变化？（形状、周长等）什么没有发生变化？（面积）

追问4：转化后的长方形和转化前的平行四边形之间有着怎样的关系？（对应的长和底、宽和高相等）

追问5：三角形、梯形可以转化成已经学过的图形吗？怎样转化呢？（向未知数学领域延伸）

一系列追问，让学生深刻地理解了转化的思想、方法，让学生的数学认知由感性上升到理性。原来，数学中的转化往往是将未知转化成已知，将陌生转化成熟悉，将复杂转化成简单。转化作为一种数学思想、方法，必将在不断地反思和追问中扎根学生的心灵深处。学生在追问中思考，在思考中领悟，在领悟中真正地获得。这样不断追问的过程也是学生立体反思的过程。在这个过程中，学生的思维更丰满，思维品质得到了真正提升。

四、活化运用，培养学生“迁移性思维”

学生数学的结构化思维，不仅表现在数学知识本质的掌握上，而且表现在数学知识的灵活运用上，表现为学生在问题情境中能够主动运用数学知识解决问题，这就是学生的数学“迁移性思维”。迁移性思维是一种主动、积极的思维，带有一种联想性质。教学中，教师应该立足学生立场，帮助学生显现沉淀的经验、连缀散落的经验，外化内隐的经验，形成迁移性的数学意识、能力。

例如：教学《圆柱的体积》，教师可以引导学生回忆，唤醒学生的已有知识经验，助推学生运用已有经验积极迁移，自主推导、建构圆柱的体积。

启发1：圆的面积是怎样推导的？长方形的长相当于圆的什么，长方形的宽相当于圆的什么？

启发2（带有迁移性质）：圆柱的体积可以怎样推导？长方体的长相当于圆柱的什么，长方体的宽相当于圆柱的什么，长方体的底面积相当于圆柱的什么，长方体的高相当于圆柱的什么？

启发3：圆柱还可以怎样摆放？不同的位置摆放，其长、宽、底面积和高相同吗？分别相当于原来圆柱的什么？

启发4：圆柱的体积公式是什么？比较圆柱的体积公式推导过程和圆的面积公式推导过程，你获得了怎样的数学方法、数学思想启示？

启发5：学习了圆柱和长方体、正方体的体积，比较一下，它们有什么相同的地方？

在这个基础上，学生展开剪一剪、拼一拼等动手操作活动，如研究图形面积时可以剪一剪、拼一拼，可以将要研究的图形转化成已知的图形，等等，通过对原有学习情境的回顾，将学生的活动经验正确迁移到新的学习活动中。如果缺少了这一环节，很多学生可能无法实现原有活动经验的顺利迁移。

如何让学生主动提取已有经验、内隐经验和散落经验？如何让学生重组自己的认知结构？一个重要的方式就是让学生学会迁移。迁移不仅助推学生原经验的内化，而且催发学生新经验的生成。从这个意义上说，学习迁移的机制就是学习的机制。当学生将自己原有经验提取并迁移到新的问题情境、新的问题研究活动中时，就意味着学生的学习创造。这是一种不断同化与顺应的过程，通过这个过程，学生不断充实、丰富、完善自我的认知结构。

华东师范大学教育学系吴亚萍教授深刻地指出，“教学策略不同于教学原则、教学方法，教学策略立意的高远之处在于：一是树立整体教学思想；二是分析内在结构关系；三是對整体、结构进行谋划……”。在数学教学中，以“结构化的教学”统驭数学“结构化的知识”，进而催生学生的“结构化思维”，让数学学科价值最大化。这或许就是结构化数学教学的价值旨归。

注：本文系徐州市教研室第12期课题“基于核心素养下的小学生数学思维建构的研究”（KT12060）阶段研究成果之一。