例谈高考命题热点之与球有关的计算问题

杨忠明

摘 要：与球有关的计算问题，特别是有关多面体外接球的问题是近几年高考的一个热点。此类题的设计一般都源于教材但高于教材，解答时需要学生发挥较强的识图能力和空间想象能力。本文就近两年的部分高考题进行举例说明。

关键词：高考 球 计算

通过认真研究近几年全国各省市的高考试题就会发现，涉及与球有关的计算问题在高考中频频出现。可见，与球有关的计算问题，特别是有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是一个不可小觑的高考热点。与球有关的高考题往往以小题的形式出现，试题的设计一般都源于教材但高于教材，有一定的难度，解决此类问题时需要学生发挥较强的识图能力和空间想象能力。下面以近三年高考全国新课标卷中出现的有关球的部分高考题进行分类探讨与解读。

一、考查与球有关的三视图问题

例1：2016年新课标全国Ⅰ卷·理6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径。若该几何体的体积是 ，则它的表面积是

（A） （B） （C） （D）

解答：由所给三视图可知，所给几何体与球的关系如图示。由图可知，所给几何体是一个球切掉了左上角的 后所得的部分。设球的半径为 ，由题设可得 ，即 ，从而所给几何体的表面积为 ，故选A。

点评：本题在考查基础知识、基本方法的同时，侧重考查识图

能力和空间想象能力。试题还要求考生能根据条件进行正确的推理和运算，将球的体积问题转化为球的表面积问题。

二、考查与球有关的组合体问题

球与其他几何体组合在一起的图形称为球的组合体，与球有关的组合体问题有内切和外接两种。如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球。球外切多面体是指球面和多面体的各个面都相切，球心到各面的距离都是球的半径，球外切多面体也叫做多面体内切球。解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素之间的数量关系，并作出合适的截面图（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的。

例2：（2017年新课标全国Ⅲ卷·理9）已知圆柱的高为1，它的

两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

（A） （B） （C） （D）

解答：如图，由题意可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆的半径为 ，则圆柱体的体积 ，故选B。

点评：本题考查圆柱和球的相关概念，在能力层面上对学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力进行考查。解题时要将空间几何问题转化为平面几何问题，使球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高这三个量集中在一个直角三角形中，突出对数学核心素养的考查。

例3：（2017年新课标全国Ⅱ卷·文15）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 。

解答：由题意易知长方体的体对角线即为球的直径，故球的半径为 ，∴球O的表面积为 ，故填 。

点评：本题考查长方体的外接球、球的表面积公式，在能力层面考查学生的空间想象力、逻辑推理和运算求解等能力。要求学生发挥空间想象力，通过逻辑推理将空间几何问题转化为平面几何问题，从而由长方体的长、宽、高求得球的半径和球的表面积。

例4：（2017年新课标全国Ⅰ卷·文16）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径。若平面SCA⊥平面SCB， ，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________。

解答：设球 的半径为 ，∵SC是球O的直径， ，SB=BC，∴ ， 均为等腰直角三角形。又点O为 的中点，连接 ， ，∴ ， 。∵平面 平面 ，平面 平面 ，∴ 平面 .∴ ，即 ，解得 .∴球O的表面积为 ，故填 。

点评：本题考查求几何体的体积、球的表面积、平面与平面垂直的判定等，解题时必须要经过“读题”“思图”“构图”“运算”的过程。试题把空间想象能力和逻辑推理能力有机结合，很好地体现了新课程背景下要求学生自主探究的理念。

例5：（2016年新课标全国Ⅲ卷·文11理10）在封闭的直三棱柱 内有一个体积为 的球。若 ， ， ， ，则 的最大值是

（A） （B） （C） （D）

解答：根据题意可得，要使球的体积最大，球应与直三棱柱的若干个面相切，设球的半径为 ，容易得到 的内切圆半径为 ， ，又因为 ，所以 ，所以 .应选择 答案。

点评：本题考查直棱柱和球的相关概念，考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力以及分析问题和解决问题的能力。解題时通过对直棱柱的高、底面内切圆半径和球半径这三个量的比较与估计，才能推得球的最大半径，从而得到球的最大体积。

从以上例子可以看出，有关球的问题是高考的一个热点。有关球的考题一种是和三视图的知识联系，通过给出球与其它几何体组合而成的组合体的三视图，考查组合体的体积和表面积等问题；另一种是考查球与多面体的接、切问题。解答与球有关的问题时常用的方法与技巧是把问题转化到相关圆的问题来解决，关于多面体与球的切、接问题的关键是找出切、接点，把空间问题转化为平面问题解决。

与球有关的问题可以很好的考查学生的空间想象能力、化归能力和运算求解能力，此类试题既注重基础也关注能力，试题设计一般都是源于教材但高于教材。解题时必须经历从识“图”、想“图”到构“图”的过程，要通过观察、分析、想象、判断、计算的逻辑思维才能求解。这很好地体现了新课程背景下，要求学生自主探究的理念，是立体几何教学要求的核心素养。笔者认为，在平时的教学中应该把与球有关的问题作为一个专题进行深度教学，让学生进行深度学习，让学生在遇到此类问题时能发挥好空间想象力，借助于数形结合进行合理转化，使问题迎刃而解。