析疑难之诸因，探求解之通法——反思求解一类几何最值问题

☉浙江省三门县英华外国语学校叶春泉

数学教学离不开解题.解题过程中，常会遇到一些常规的解题模式和常用的数学方法，我们称之为通性通法.在研究解题过程中，若能提炼得到这种“学一法、会一类”的通用方法，自然是解题者的追求.但在实际的解题研究中，似乎又普遍在寻求着“妙解”，追求着“妙解”带来的思维创造的快乐.其解题思路，学生往往是难以想到的.这与课标［1］中对评价的要求：注重通性通法，淡化特殊技巧的建议是不相符的.对此，笔者通过对一个几何最值考题的反思，来阐述对数学解题中通性通法的关注.

一、试题呈现

原题：如图1，△ABC、△DEF分别是腰长为16cm、10cm的两个等腰直角三角形，顶点D、E分别在边AB、AC上滑动.则滑动过程中，点A、F间距离的最大值为______cm.

本题是笔者命制的，用于重点高中自主招生检测与教师区域调动文化检测.作为填空题的压轴题，本题在类型上属于近几年中考的常见题型——“动点与定点距离的最值问题”.试题图形背景简洁，考查对圆的相关特征的理解与线段的最值问题，试题的设计遵循《义务教育数学课程标准（2011年版）》的相关要求，关注考查学生的数学观察能力和动手实践能力，以及通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理证明结论的能力.但从教师的检测结果中发现，26份答卷中只有1人正确作答，还有4人的错误答案均为有17人未作答，4人为其他错误答案，学生检测反馈的得分率也接近0.

二、疑难分析

笔者通过阅查各种教辅资料和一些期刊，发现对“动点与定点距离的最值问题”的研究文章不少，对问题的求解也给出了很好的建议与策略，这些策略普遍关注创造性思维的开发和激发思维的灵活性，但很少有对这类问题具有的通性通法的见解.下面笔者将引用这些策略及其实例来分析这类问题求解中的疑难因素.

1.动点轨迹，显现之难

例1 如图2，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4.点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（）

图2

图3

本题为2016年安徽中考第10题，参考文献［2］利用“隐圆”巧解这种线段最值问题，为此类问题提供了一种很好的解题模型.文中认为解本题时想到“隐圆”并不困难.如图3，由题意可知∠APB=90°，故点P在以AB为直径的圆上，设圆心为O，当线段CP的长最小时，点C、P、O在一条直线上，从而得到线段CP长的最小值为2.

这个“隐圆”在此问题的解决中的确起着关键的作用，但笔者认为发现“隐圆”并不容易，学生为何偏要去计算∠APB=90°？若事先能猜得点P的运动轨迹是以AB为直径的圆弧，再去探求计算∠APB=90°，思路上可能会比较自然.

图4

2.模型抽象，技巧之高

例2如图4，在直角坐标系xOy中，已知正三角形ABC的边长为2，点A从点O开始沿着x轴的正方向移动，点B在∠xOy的平分线上移动，则点C到原点的最大距离是（）.

本题与原题相似度极高，参考文献［3］利用“曲柄连杆模型”进行巧妙求解.如图5～7，图5为曲柄连杆实物图.如图6，当N位于OM上时，OM最大；如图7，当O位于MN上时，OM最小.这个模型的特征是“曲柄”中的两条线段ON和MN是定长的，其中ON绕点O旋转.

图5

图6

图7

文中分析：先找到“曲柄”中哪一条柄在旋转，即找出这个定圆，联系相关点O、A、B，确定△ABO的外接圆，如图8，P的是圆心，因为∠APB=2∠AOB=90°，所以OP=PB=PA=，PC=1+.因此，当AB在滑动时，圆P的位置改变，大小不变，OP、PC就是“曲柄”中的两条“柄”，问题便可解决.同时指出了解决这类题的关键是找到“曲柄连杆模型”中的两条“柄”.

图8

图9

反思本题所运用的“曲柄连杆模型”，基本的思想方法就是把变化的距离转化为几条定长的线段.因为模型的抽象，决定了转化并不容易.从模型本身来看，具有“定圆（心）动点”的特征.而本题的求解又进一步抽象为“动圆（心）动点”，所以要找到两条定长的线段OP、PC实属不易.笔者认为本求解有两疑难：其一，解题时，判断问题是否符合“曲柄连杆模型”；其二，模型抽象，要正确转化并不容易.再如原题中4位教师的错误解答，答案为笔者推测是转化过于复杂所致.推测如下：如图9，求得三条定长线段OA=5、OG=5、GF=5 5 ，当这三条线段在同一直线上时，AF取得最大值但未进一步思考 OA、OG、GF能否共线，导致出错.其实，能想到利用“隐圆”把问题转化为三条定长的线段，已经不容易了.

3.类别归属，局限之实

数学解题中，明确问题的类别，为解决的精准切入提供了方向.如：例1、例2具有“隐圆”这个特征，为解题的思考指明了方向.由于方法的运用仅局限于有“隐圆”的前提，所以解题时首要任务是判断问题是否具有此特征.既然是隐着的，那么判断的意识又来自哪里？而且判断也是一个难点，况且在“动点与定点距离的最值问题”中，存在“隐圆”的仅是部分而已.所以，用“隐圆”去求解此类问题，又具有明显的局限性.

诸多的因素，反映了求解这类“动点与定点距离的最值问题”时存在的障碍，同时为探寻自然的、具有广泛意义的解法指明了方向.

三、探寻通法

数学解题中，通用、自然的解法应该具有特征明显、模型简洁及切入容易等特征.在“动点与定点距离的最值问题”中，动点与定点的特征是明显的，但动点会随图形的变化而运动，涉及点的轨迹知识，它对分析问题的能力要求较高.由于初中阶段受知识方面的局限，经整理发现考题基本上是考查直线型与圆弧型两类轨迹，运用的基本依据是“垂线段最短”与“两点之间线段最短”.基本的模型如下：如图10，若P点在直线l上运动，当AP⊥l时，AP最小；如图11，若P点在⊙O上运动，当A、P、O三点共线时，AP1最小、AP2最大.显然P点的轨迹判断是问题解决的关键，寻求一种通用的判断方法自然值得关注.

图10

图11

1.动点有痕，思轨迹

动静两点间的距离最值问题中，动点的轨迹显然是问题突破的关键，如何得出运动的轨迹，值得去思考、去实践.结合上述疑难分析，笔者对此进行了一定的调查与实践，并在参考文献［4］中给出了一种认为比较自然的求解思路：描动点→猜轨迹→寻依据→用模型.

例3如图12，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为______.（2016年无锡市中考第17题）

图12

图13

图14

如13，若通过A、C的位置变化，描出若干个相应的点B的位置，从而可以猜测点B在直线x=4的平行线上运动.如图14，进而分析为什么点B会在直线x=4的平行线上运动，指向于去发现BE的长为定值.由△BEC≌△ODA，得BE=OD=1，证实了点B在直线x=5上运动，依据“垂线段最短”，可得对角线OB长的最小值为5.

在例1中，这个“隐圆”的发现是问题解决的关键.如图15，若先描出若干个符合条件的动点，容易猜出P点在以AB为直径的圆弧上，再指向于寻找∠APB=90°.在这样的思考中，轨迹的显现自然变得容易.这种先实验，再猜想判断的做法是探析点的轨迹一种有效的方法.也是课标所强调的“参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动，发展合情推理能力和演绎推理能力……”体会数学的基本思想和思维方式.

图15

2.动静相对，易转化

图16

在“动点与定点距离最值的问题”中，虽然动点的轨迹通常是明确的，但也存在着动点轨迹很难明确的及动点轨迹不是直线型或圆弧型的问题.由于初中阶段知识的局限，求解的障碍也就出现了.若利用“动静转化”的策略，往往可轻易突破，即把动点看成定点，把定点看成动点.

原题求解时，先对动点F的轨迹利用描点猜想，可发现轨迹很难判断确定.如图16，若把△DEF看成固定的，则F成了参照点，若把△ABC看成运动的，则A成了动点，不难发现点A的轨迹是圆弧.其中，DE为弦，圆周角∠A=45°，圆心角∠EOD=90°.易知当A、O、F三点共线时，AF最大，即A1F的长.半径OA1=OE=OD=5，进而求得OF=，当点A运动到A1位置时，A1F=5+5.

本题的求解，由于直接判断动点的轨迹比较困难，从而通过简单的转化，归结为求相对点的轨迹，把问题转化为常规的直线型与圆弧型轨迹问题，是解决这类几何最值问题一种常用的转化策略.在求解例2时，如图8，若把正三角形ABC看成固定的，点O看成动点，则点O在以AB为弦的定圆P上运动，易知C到原点O的最大距离是1++.

四、写在最后

数学解题贵在自然，教学中要强调从学生的实际出发，当然也并非不要巧解妙法，而是说首先要考虑某种解法的广泛适应性，然后才是局部的灵巧性.即使一道题的某一解法，具有广泛的意义而稍烦琐，也比虽灵巧但意义局限的方法要可贵得多.