“四基”蕴于过程，“四能”寓于策略*——以“圆周角（第1课时）”教学为例

☉重庆市重庆复旦中学丁庆彬

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在教学建议中提出：“数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（以下简称‘四基’），使得学生主动地、富有个性地学习，不断提高发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力（以下简称‘四能’）.”可见，“四基”和“四能”均为数学教学的核心内容.“四基”是在实践、思考、探索、交流等教学环节中获得的，应体现过程性.“四能”的培养则依赖于教师的教学方法，应体现策略性.数学教学只有兼顾过程性和策略性，才能使“四基”和“四能”得以落地.下面以义务教育人教版九年级上学期第二十四章“圆周角”第1课时的教学为例进行说明.

一、概念“源”发生，自然流畅渗透思想

教材对圆周角的描述，只有一句话：“在圆中，还有另一类角，它的顶点在圆上，并且两边都与圆相交.”许多教师也基本上是开门见山给出概念，这样处理教材略显简单，没有对教材中“另一类角”进行自然挖掘，使得概念的发生较为突然.为此，教师进行如下设计：

师：同学们，我们知道圆心角是顶点在圆心的角，请同学们画出一个圆心角∠AOB.保持角的两边与圆的两个交点A、B不变，任意改变角的顶点，试一试还能画出什么样的角.

学生纷纷在刚才的圆中画出各种各样的角，教师汇总后利用多媒体呈现，如图1.

师：请同学们观察一下这些角，各有哪些特征？

生：有些角的顶点在圆的内部，有的在圆上，有的在圆外.

师：是的，事实上无论顶点在圆内、圆上还是圆外，都可以画出无数个角.今天，我们重点学习比较特殊的一类角，它的顶点在圆周上，就是像∠ADB这样的角.

教师引导学生进一步观察并归纳出圆周角的定义.

设计意图：概念的生成改变了“开门见山”的方式，由复习切入，让学生动手实践，自然“发挥”，在此基础上，引导学生进一步观察角的位置特征，教师及时引入“正题”，明确告诉学生要重点学习一类顶点在圆周上的角.这样自然的引入，不仅让学生在体验中领悟到概念发生的“源头”，回应了教材中“另一类角”的含义，同时渗透了“从一般到特殊”的数学思想方法.

二、新知“慢”探究，循序渐进重视体验

本环节主要内容是探究同弧所对圆周角和圆心角的关系及相关推论，既是本课时教学的重点，也是难点.因此，在教学中不能简单处理，更不能直截了当给出结论，课堂节奏要“慢”下来，做到循序渐进，让学生获得足够的活动体验，感悟知识的来龙去脉.基于此，教师设计了如下三个探究活动.

探究1：一条弧所对圆周角和圆心角的关系.（圆周角定理）

该探究由五个小活动构成.

画一画：引导学生探究同一条弧所对圆周角和圆心角在位置上会出现哪些不同的情况，并在圆中画出相应的圆周角，如图2.

图2

量一量：引导学生测量不同位置的圆周角和圆心角的度数，初步猜想它们之间的关系.

试一试：测量后的初步猜想“同弧所对圆周角是圆心角的一半”只是在三个不同圆周角的基础上得到的，圆周角的个数并不具有普遍性，且人工测量会存在误差.教师发现，在教材的正文旁边有这样一处旁白（如图3），从而带领学生运用几何画板进行动态展示（如图4），发现无论圆周角和圆心角的位置和大小怎么变化，其比值始终是.

图3

图4

猜一猜：经历测量和计算机软件的动态演示后，学生在感知“同弧所对圆周角和圆心角的关系”的基础上，进一步将猜想结论放大到“任意一条弧所对圆周角和圆心角的关系”上来.

证一证：经过画图、观察、猜想得到结论后，还需要用数学的语言加以证明.教师先引导学生一起给出图2（1）的证明过程，并在教材旁白（如图5）的提示中，对推出符号“⇒”进行说明.对于另外两种情况（图2（2）、（3）），教师让学生分组进行证明，并让一名学生在黑板上书写了图2（2）的证明过程，另两名学生到讲台上分享了图2（3）的两种不同的证明思路.

图5

图6

以上五个“一”活动后，教师进行了归纳总结，提炼出“分类讨论”和“化归”（将圆周角问题化归为三角形的外角问题来解决）的数学思想方法，并向学生强调：“连接半径（或直径）是圆中比较常见的辅助线.”

设计意图：教育是慢的艺术，数学教育更是如此.圆周角定理的推导是一个循序渐进的过程，在探究的过程中，节奏“慢”下，学生的思维才能“活”起来.无论是圆周角和圆心角的位置关系，还是数量关系，教师都没有直接给出结论，而是让学生自己动手操作，自主体验和观察，并在教材旁白的提示下，恰当使用了计算机技术辅助教学，使得教学过程流畅而严谨.在证明定理时，教师十分重视数学思想的渗透、数学语言的表达和书写的规范.

探究2：同弧或等弧所对圆周角的大小关系.（圆周角定理推论1）

在探究1的基础上，借助已学过的“弧、弦、圆心角”之间的等价关系，学生完全能自己得到结论.因此，教师让学生自主探究该推论，学生很快由弧相等得到圆心角相等，再根据“同弧所对圆周角是圆心角的一半”得到圆周角也相等的结论.教师并未就此结束，而是带领学生对圆中的弧、弦、圆心角及圆周角四个常见元素之间的转化关系进行梳理，如图6.

设计意图：虽然由弧相等得到圆周角相等并不难，但教师并不是“就事论事”，更没有“就此罢休”，而是引导学生在已有的元素（弧、弦、圆心角）之间的“知一得二”的基础上进一步梳理增加圆周角后的等价关系，从而得到“知一得三”的性质结论，帮助学生建立新知识和旧知识之间的联系，建构完整的知识体系.

探究3：半圆（或直径）所对圆周角为直角，90°的圆周角所对的弦为直径.

教师改变了传统的直接给出结论的做法，而是先让学生对圆周角的取值范围进行探究，学生通过画图、观察和探究得到圆周角的取值范围为大于0°小于180°，教师又借助几何画板进行动态展示，进一步验证了学生探究的结论.之后，教师做了如下设计：

师：我们知道了圆周角的取值范围，在这个范围内最为特殊的圆周角就是90°的圆周角，在演示的过程中，同学们发现当圆弧满足什么条件时，圆周角是90°？

生：当圆弧与半圆重合时，所对圆周角为90°.

教师肯定学生的回答，并补充道：除了动态演示观察，还可以通过半圆所对圆心角为180°得出“半圆（或直径）所对圆周角为直角”这一命题，其逆命题也是成立的.

设计意图：通过探究圆周角的取值范围感知圆周角的大小变化，在变化的圆周角中进一步聚焦到90°的圆周角，再次渗透从一般到特殊的数学思想.

三、应用“巧”拓展，层层深入培养“四能”

经过圆周角定理及相关推论的探究和学习，本课时的教学目标基本达成，学生从中获得了基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验.但作为一堂几何教学课，还应该进一步拓展和提升，教师设计了如下例题：

例如图7（1），AB为⊙O的直径，AB=10，∠A=30°，C为圆上一点.

图7

（1）求弦BC的长；

（2）如图7（2），若CD为∠ACB的角平分线，交直径AB于点E，交圆周于点D，求弦BD的长；

（3）如图7（3），连接OD，求∠CDO的度数；

（4）在条件（1）（2）（3）的基础上，你还能发现和提出哪些问题？尝试解决.

学生运用本节课所学知识基本上可以独立完成前三个问题.第（4）问完全点燃了课堂气氛，学生显得十分兴奋，各个小组纷纷提出自己的问题，教师适时引导，并让小组之间相互解决所提问题.学生发现和提出的问题大概有以下三类：

类型1：求角的度数，如∠CEB、∠ACD、∠AEC等；

类型2：求线段的长度，如线段AE、CE、OE等；

类型3：求三角形的面积，如△CEB、△DEB、△ODE.

第一类求角度问题较为简单，借助圆心角、圆周角的性质及三角形内角（或外角）可以很快解决.第二类求长度问题有一定难度，借助角平分线的性质、勾股定理等知识解决，发现和提出该类问题的学生基本上能够较为清晰地表达出解题思路.第三类问题在第二类问题上进一步升华，但解决问题的思路是一致的，仍然需要先求出长度.解决问题的过程中，学生的方法也是多样的，下面就以求线段AE的长度为例.

生1：利用角平分线的性质.

解析：如图8（1），过点E分别作EG⊥AC于G，EH⊥BC于H.由角平分线易得EG=EH.

图8

生2：利用直角三角形的特殊角.

解析：如图8（2），过点E作EG⊥AC于G.

由题意易得∠GCE=45°，∠A=30°.△CEG、△AEG均为直角三角形.

设计意图：拓展不是无端增加难度，而是要体现知识的关联和方法的融合.前三个问题的设置由易到难，层层深入，在变式练习中巩固新知.第（4）小问的设计非常巧妙，既兼顾了本课时的内容要求，又超越其知识范围，实现了相关知识的深度融合；在思维能力上，不仅培养了学生分析问题和解决问题的能力，更注重发现和提出问题能力的培养，从而达到了“四能”并举的教学目的.这种于“预设”中不“限设”、寓“四能”于无形的设计，充分体现了教学的策略性.

四、教学思考

本节课是一堂常态的几何课，教师却上出了不同寻常的味道，于“源”中追溯概念的发生，于“慢”中体验新知的关联，于“巧”中兼顾“四能”的培养，为几何教学提供了一种可借鉴的模式.同时体现出一种教学观念：“‘四基’的获得不能速成，应充分体现在教学的全过程；‘四能’的培养不能一枝独芳，应于巧妙的教学策略中全面开花.”