实二次型的教学探索

卞小霞　季红蕾

摘要：二次型理论在经济管理、工程技术等领域有较多应用，其本身在线性代数课程中又是矩阵理论的应用，教学中应予以重视。本文结合教学实践，探讨二次型教学中需突出的重点。

关键词：二次型；矩阵；变换；正定性

中图分类号：O151 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）50-0195-02

在本科数学公共基础课中，线性代数是一门古老的数学学科，特点是概念较多、内容抽象，而数学的本质属性包括抽象和概念，无法回避。这时需要教师进行相应处理，化解问题，即尽可能地从实际背景中提取问题，使概念可视化、可理解化，类比分析较复杂的内容，并延伸探讨使学生能课外思考，针对这几点，本文提出以下思路。

一、情境創设

因实际问题中遇到的矩阵往往不满足对称性，即一般矩阵的正定性在实际应用中更加频繁，比如本文第一部分中航天器姿态问题，姿态稳定性的证明就需要利用非对称实矩阵的正定性。为此不少学者针对矩阵的正定性做了大量研究工作。殷庆祥等得到了矩阵正定性判别的不同结果[3，4]。

（二）Matlab可视化教学

二次型中有较多的代数表达式，内容难免抽象，教学中可以利用Matlab的可视化效果使学生能直观认识一些概念，加强理解的效果。下面以正交变换过程为例。

例：利用正交变换将（1）式化为标准形。

在命令框中输入：A=[53；35]；[V，D]=eig（A）；

即可得到结果：V=[-0.701 0.701；0.701 0.701]；D=[20；08].

此外，教师利用“meshgrid，plot3”等命令还可以分别作出正定、负定、不定二次型的图形，直观比较之下降低了内容的难度，也使教学过程生动鲜活，从而学生才能兴趣盎然地参与课堂。

四、结论

目前，高等教育已经从精英教育转向大众教育，笔者所在的工科院校较大比例的学生不从事数学研究工作，这种情况下让学生掌握现代数学思想、数学方法，加强学生的应用能力、逻辑思维、创造精神的培养才是更重要的。我们在教学过程中需要加强应用背景的探讨，所学知识的类比分析，请学生课外自主延伸阅读，调动学生的积极主动性。在这样的学习方式下，学生在将来的工作中才能更好地应用所学知识解决实际问题。

参考文献：

[1]北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]陈万勇，等.线性代数[M].电子工业出版社，2013.

[3]李炯生.实方阵的正定性[J].数学的实践与认识，1985，（3）：67-73.

[4]钱云，顾传青. 矩阵正定性的进一步推广[J].应用数学与计算数学学报， 2014，（28）：215-217.