浅谈函数二阶导数零点和函数对称中心关系的探究

于彭博 陈夺

摘 要：高中数学关于函数性质的考察占总分的很大一部分，而且其变换种类多、解题方法灵活。经常作为选择填空的压轴题出现在试卷中，对学生有很大的区分度。但是只要掌握了一定的技巧，一些题就可以迎刃而解。所以掌握一定这样的技巧对于高考有莫大的帮助，本文主要简单介绍函数的对称性和其二阶导零点的关系，以其为高中数学函数部分提供一个灵活的解题方法。

关键词：高中数学；函数；导数

经过若干次对三次函数，形如y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R）的图象研究，我们发现其图像有中心对称的特点。因此我们猜想，其二阶导数的零点是其对称中心的横坐标，证明如下

令f（x）=ax3+bx2+cx+a.

则f'（x）=3ax3+2bx+c. f''（x）=6ax+2b.

令f''（x）=0，则有x=-.

将x=-带入f（x）=ax3+bx2+cx+a

得到一个点（-，f（-））.

但是，这个点究竟是不是该函数的对称中心呢？

我們可以设他的对称中心为（m，n）按向量a=（-m，-n）将函数的图像平移，则所得函数y=f（x+m）-n是奇函数。

所以 .

将其化简可得 .

上试对x∈R恒成立，故：3ma+b=0得m=-.

.

所以函数y=ax3+bx2+cx+d的对称中心是（-，f（-））.

对此我有一个猜想：如果一个函数有对称中心，那么使它二阶导为0的x值是不是其对称中心的横坐标呢？下面是我的证明过程。

首先，我们有一个函数f（x）在x∈R上可导，它的称中心是（a，b）那么根据导数的几何意义，其关于（a，b）对称的点对应的导数的值应该相等。即f'（a-x）=f'（a+x）那么x=a一定是它的一个极值点（极大值或者极小值点）再一次根据导函数的定义，其导函数，即f''（x）的零点的横坐标为x=a即可得证。

关于这个猜想的应用，有如下两道例题.

例一：已知函数f（x）=（x2-2x）sin（x-1）+x+2017在[-2016，2018]上的最大值为M，最小值为m，求M+m为何值。

本题的一般解答方法是构造新函数后进行平移.

令 .

整理得 .

易得 是奇函数.

所以g（x）的对称中心为（1，2018）.

所以M+m=2×2018=4036.

现在我们使用本文猜想求解.

我们可以求出这个函数的二阶导：

可得f''（1）=0 f（1）=2018

所以f（x）关于（1，2018）中心对称.

所以f（x）的最大值点（x1，M）与最小值点（x2，m）中心对称.

所以M+m=4036.

例二：已知函数f（x）=x3+x2+x+若函数y=f（x+a）+b为奇函数，则a+b=

应用猜想，我们可以得到f''（x）=2x+2

令f''（x）=0则有x=-1

将x=-1带入f（x）=x3+x2+x+

得f（1）=1所以该函数的对称中心为（-1，1）

平移后可得a=1，b=1

所以a+b=2

通过这两种方法的比较我们可以看出，构造函数这种方法很难想到，一旦在考场上想不到关键点，就会束手无策，导致考题做不出，有时甚至影响后面的答题。但如果应用此猜想，就可以很便捷的找到破题的关键——即函数的对称中心从而迅速求解。这个猜想适用于高中阶段所接触到的简单的函数，在面对一些考察函数对称性的问题时，应用此定理会节省很多时间，而不需要去配凑、构造函数，从而达到对这类问题的顺利求解的目的。（指导教师：程欣）

参考文献：

[1]李志边.函数的零点问题的探究[J].文中数学教与学，2012（3）.

[2]张明亮主编.步步高？高考总复习？新课标.黑龙江教育出版社，2010.2.

[3]孙翔峰主编.三维设计？高考总复习？新课标.光明日报出版社，2011.4.