变式才是硬道理——一道二元最值问题的变式探究

陕西 李 歆

变式教学是数学教学过程中提高质量的重要手段，通过变式教学，有助于巩固学生的数学知识，培养学生分析、归纳、解决问题的能力，激发学生的学习兴趣，同时也是提高教师教学效率的重要保证.在教学实践中发现，对最基本的二元最值问题，学生往往感到比较棘手，处理时常常思路受阻，或者容易出错，其原因是对这类问题的变化规律没有掌握，导致变式的功能缺失，对此，本文对本刊责任编辑刘编辑在“数学变式兴趣研发群”中提出的一道二元最值问题的变式加以探究，供读者参考.

一、常规解法

由于问题式是由两个分子与分母都是一次的分式组成，所以容易想到用方程思想求解.

【解法1】先减元后用判别式

去分母后，整理得(3t-5)b2+(4t-2)b+t-1=0，

如果不用判别式法，那么用常用的解题工具——基本不等式行不行？

【解法2】先变形后用基本不等式

由已知条件及基本不等式，可得

二、优美解法

【解法3】添项法一(先将1=2a+b代入第二项的分母)

由已知条件及基本不等式，可得

如果第二项的分母不变，而改变第一项的分母行不行？

由已知条件及基本不等式，可得

【点评】比较上述四种解法，前两种解法比较复杂，却是通解通法，属于基础层面，后两种解法十分简捷，但却需要抓住问题式的结构特征，对学生的观察能力有较高的要求，因此属于能力层面.在数学教学中，教师重视对通解通法的教学固然重要，但不能仅仅停留在基础层面，还要加强对学生解题能力的训练，所以在通解通法的基础上，倡导更加简便的优美解法，也是数学教学的主要任务.在下面的变式探究中，这种优美解法将会发挥举足轻重的作用.

三、变式与拓展

策略1：改变位置

1.分子与分母自身互换位置

解：由已知条件及基本不等式，可得

2.分子与分母交叉互换位置

解：由已知条件及基本不等式，可得

3.分子与分子，分母与分母互换位置

解：由已知条件及基本不等式，可得

【点评】以上四种变式，变式1在互换位置后没有变化，是简单题，变式2、变式3和变式4在互换位置后，还对局部做了一些“微调”处理，属于基础题，四种解法都用到了“1”的代换技巧，变式2和变式3还用到了“添项法”，变式4还用到了“拆项法”，它们都是最基本的解题工具.

策略2：三角换元

由已知条件联想到三角公式sin2α+cos2α=1，可设2a=sin2x，b=cos2x，则有如下变式.

解：由已知条件及基本不等式，可得

策略3：等差换元

解：由已知条件可知， 5-6x>0，3-2x>0，又由基本不等式可得

【点评】变式5和变式6都是将原来的二元最值问题转化为一元最值问题，如果按照习惯性思维，采用判别式法求解，则要复杂一些，但利用分子与分母的结构特征，用“添项法”处理却十分简捷.

策略4：升幂处理

1.将分子中的a变为a2，b变为b2，同时对第二项的分母做“微调”处理.

解：由已知条件及柯西不等式，可得

解：由已知条件及基本不等式，可得

策略5:改变常数项

解：由已知条件及基本不等式，可得

当且仅当4(m+b)2=2m(1+3b)2时等号成立，

策略6：改变未知项

1.改变a的系数

解：由已知条件及基本不等式，可得

2.改变b的系数

解：由已知条件及基本不等式，可得

3.改变a和b的系数

解：由已知条件及基本不等式，可得

策略7：改变常数项和未知项

解：由已知条件及基本不等式，可得

【点评】与前面8个变式不同的是，后面的5个变式保留了上述问题的基本结构，只是从改变常数项及其变量的系数入手，将原有问题分别从几个不同的视角作了一般性地拓展，从而使原有问题的内在规律得以展示，在后面5个变式的解法中，都采用了“添项法”，但由于引入了常数参数，所以每一个变式添什么“项”，却不是一件容易的事，其中隐含了“待定系数法”的思想，值得读者去思考.