常考常新的抛物线的性质

山东 华 伟

一年一度的高考落下帷幕，总有一些题目值得我们去细细咀嚼、久久回味.2018年全国卷Ⅰ文第20题就是一道平中见奇，彰显真功的优美试题，其中所蕴涵的抛物线的性质常考常新.这里，从不同的视角作一些有益的探讨，供大家参考与指正.

一、试题展现

(2018·全国卷Ⅰ文·20)设抛物线C：y2=2x，点A(2，0)，B(-2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点.

(Ⅰ)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；

(Ⅱ)证明：∠ABM=∠ABN.

解析：(Ⅰ)当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).

(Ⅱ)当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN.

当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k(x-2)(k≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1>0,x2>0.

所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM=∠ABN.

综上，∠ABM=∠ABN.

点评：这道高考题文字表述简洁、清晰，考查了直线与抛物线的位置关系和数据处理能力，深刻反映了解析几何的数学本质.解析几何问题的本质就是把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形的性质，几何问题代数化是解析几何的本质.处理解析几何问题的关键在于找到最好的方法解决问题.借助数形结合，大胆运用平面几何相应的性质，相比用固定解题程序，能更快地找到简捷的解题方法.

二、试题拓展

将上述高考题中的(Ⅱ)所蕴涵的数学本质拓展为一般情形，可有下面常考常新的“经典”性质：

性质1.已知点B(t,0)(t<0)，设不垂直于x轴的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于不同的两点P,Q，若直线l过定点(-t,0)，则x轴是∠PBQ的角平分线.

性质2.已知点B(t,0)(t<0)，设不垂直于x轴的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线，则直线l过定点(-t,0).

这两条性质是近年来高考和各类考试的命题热点之一，但呈现在大家面前的问题可能是进行了某种程度的改头换面，或者进行了适当的变式或包装，只要能看透变式与包装背后的本质性的东西，那么问题无论如何变幻莫测，解决起来总能游刃有余和得心应手的.

三、相关链接

链接1.(2013·陕西卷理·20)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.

(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(Ⅱ)已知点B(-1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点.

分析：此题(Ⅱ)实质上是上面性质的一种变式说法，或者说是用一个新的角度来展示的.易知直线l过定点(1，0).

(Ⅰ)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN?请说明理由.

分析：此题(Ⅱ)实质上也是上面性质的一种呈现形式，只不过是把焦点所在的坐标轴改成了y轴.易知存在点P(0,-a)，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN.

(Ⅱ)先作出判定，再利用设而不求思想即将y=kx+a代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用a表示出来，利用直线PM，PN的斜率之和为0，即可求出a，b的关系，从而找出适合条件的P点，坐标为P(0,-a).

链接3.(2015·福建卷文·19)已知点F为抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点，点A(2,m)在抛物线E上，且|AF|=3.

(Ⅰ)求抛物线E的方程；

(Ⅱ)已知点G(-1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.

分析：此题(Ⅱ)中，以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切，说明x轴是∠AGB的角平分线.实质上还是GA,GB与x轴所成的锐角相等的一种变式说法.

(Ⅱ)欲证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.可证明∠AGF=∠BGF，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数，即证明kGA+kGB=0.从而∠AGF=∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.

链接4.(2018“超级全能生”临考押题卷文)已知P(-3,0)，直线l交抛物线C:y2=4x于A,B两点.

(Ⅰ)若直线l经过P点，求直线l斜率的取值范围；

(Ⅱ)当直线l变化时，总有∠OPA=∠OPB，则直线l是否过定点？说明理由.

(Ⅱ)设直线l的方程为x=ky+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，由∠OPA=∠OPB，说明kPA=-kPB，即kPA+kPB=0.联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系和设而不求的数学思想，代入kPA+kPB=0，建立k与m的关系，根据l的方程判断直线l恒过定点(3,0).

点评：链接4是教学考试杂志社的原创研发项目第三阶段的转化成果《2018高考命题预测与题·临考押题卷》中的一道试题，与上面的高考题可谓“同题”，更可以说是押中了2018年全国卷Ⅰ的高考题，足以说明教学考试杂志社在研究和指导高考上显示出深厚的功力.

四、教学启示

1.一道精彩的高考试题之所以能引起大家的共鸣，不是因为其独特的解题技巧，而是其中所蕴涵的思想方法，在一定程度上能够指导教师根据学生驾驭知识的实际情况，调整教学内容，以及根据教学内容选择恰当的教学手段和方法.本文中的试题看似素材平实，但求解过程精彩纷呈，妙趣横生，真可谓是一道平中孕奇、素养天成的好题.在日常教学的过程中，教师要精心选取这样极具代表性的一题多解、多题一解的题目作为练习，增强学生的数学核心素养.

2.解题是一种创造性的活动，是理论到实践的过程.通过学生解题的过程可以发现：有一些题目的类似题或者原题已经教了许多遍，但是学生还是不能很好地掌握.因此，在教学中教师要陪伴学生筑造数学知识的形成之路，而不是在某些经典的知识点或者试题上“一滑而过”.正如波利亚曾形象地指出：“好问题同某些蘑菇有些相似，它们大都成堆的生长，找到一个之后，你应当在周围再找一找，很可能就有几个.”在学生的最近发展区设计有探究价值的题目，鼓励学生参与其中，从而实现学生数学素养的提升.