概率问题中易错点剖析

安徽 唐录义 江勇琴

概率是高中数学相对独立的内容,其有关知识不易于理解，常导致学生在学习的过程中产生疑惑或出现错误.本文在慎思、明辨的基础上试着对概率学习中的易错点逐一进行解读.

【易错点1】两个原理混淆不清

【案例1】体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有

( )

A.12种 B.7种 C.24种 D.49种

【考点涉及】计数原理.

【错解呈现】学生进出体育场大门需分两类，一类从北侧的4个门进，一类从南侧的3个门进，由分类计数原理，共有7种方案，故选B.

【错点查找】应当考虑第一步进门，第二步出门.而不是一类从北侧的4个门进，一类从南侧的3个门进.

【出错归因】心理性失误，审题疏忽，看错或看漏条件，没有审清题意.本题不仅要考虑从哪个门进，还需考虑从哪个门出，应该用分步计数原理去解题.

【正解参考】学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7×7=49种，故选D.

【反思总结】计数问题是高中数学的重要问题之一,排列组合是特殊的计数问题,也是高考考查的经典内容之一,通常以选择题或填空题的形式出现,有深厚的实际应用背景.此类问题概念性强,思考方法和解题技巧特殊.掌握“分步相乘、分类相加、有序排列、无序组合”的原理和方法,并能加以灵活运用是解决问题的关键.

【易错点2】分类、分步时产生重复或遗漏

【案例2】五封不同的信投入四个邮筒.

(Ⅰ)无要求投完五封信，有多少种不同投法？

(Ⅱ)每个邮筒中至少要有一封信，有多少种不同投法？

【考点涉及】计数原理.

【错解呈现】(Ⅰ)对每封信来说，有4种投法，分五步把这些信都投完，则共有4×4×4×4×4=45种投法.

(Ⅱ)第一步先选出一封信不投，有5种情况，第二步把另外4封往四个筒里各投一封，有4×3×2×1=24种投法，第三步再把剩下的信投入任意一个筒内，有4种投法，故有5×24×4=480种投法.

【错点查找】(Ⅱ)问中间有重复现象.

【出错归因】心理性失误 ，审题疏忽，看错或看漏条件.

【正解参考】(Ⅰ)对每封信来说，有4种投法，分五步把这些信都投完，则共有4×4×4×4×4=45种投法.

(Ⅱ)5封中选一封，有5种选法. 剩下四封往四个筒里各投一封，有4×3×2×1=24种投法.再把剩下一封信投完，有4种投法. 因为都重复了一次，所以相乘再除以2，即5×24×4÷2=240种.

【反思总结】通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理的实际应用情况及场景；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.培养对自己的学习状态进行审视的意识和习惯，善于总结经验.

【易错点3】对有关元素的特殊排组模式识别不准

【案例3】将三名男生、四名女生按照这样的要求排队：全体站成一排，女生不能排在一起.求共有多少种排法.

【考点涉及】计数原理，排列组合.

【错点查找】先排女生，男生插空会有空没填满，即有女生排在一起的情况出现，如果题目是男生不能排在一起，此法可行.

【出错归因】审题疏忽,理解不透,颠倒对象.有知识性失误.

【反思总结】在排列组合中，经常会遇到相邻和不相邻问题的模型，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法.通俗地说，谁相邻谁捆绑，当作一个元素与其余元素再排；谁不相邻谁插空，其余元素先排再插空.审题要仔细，理解要透彻，模式识别要准确.

【易错点4】对二项式定理中展开式和通项公式记忆不准

【案例4】(2015·全国卷Ⅱ理·15)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=________.

【考点涉及】会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

【出错归因】考虑问题不周全，不严密，属心理性失误.

【正解参考】由已知得(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4，所以(a+x)(1+x)4的奇数次幂项分别为4ax，4ax3，x，6x3，x5，其系数之和为4a+4a+1+6+1=32，解得a=3.

【反思总结】二项式定理主要的两个公式就是

掌握了这两个公式可以用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题，进而掌握二项式定理的基本知识和基本技能，达到双基.只有双基扎实，解题才有底气，才能从根本上克服心理性失误.

【易错点5】几何概型中对基本事件和样本空间对应的图形把握不准确

( )

A.p1

B.p2

C.p3

D.p3

【考点涉及】几何概型概率的概念和计算，积分求面积.

【错解呈现】由概率公式，观察图象知：

满足p2

【出错归因】混淆概念性质，导致计算失误，认知结构欠缺，导致逻辑性失误.

【正解参考】由概率公式，观察图象知：

满足p2

【反思总结】几何概型的概率计算，关键在于确定事件所对应的图形和计算图形的量度(角度、长度、面积、体积等)，难点在于画出图形，以及计算不规则图形的面积.本题在计算S3时容易出现失误，可能由于混淆概念性质，把反比例函数图象误当作圆，导致计算失误.也可能认知结构欠缺，忘记了用积分法求曲边梯形面积的方法，就以圆面积代替，导致逻辑性失误.

【易错点6】古典概型中对基本事件和样本空间把握不准确

【案例6】(2015·天津卷文·15)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18，现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.

(Ⅰ)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；

(Ⅱ)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.

(ⅰ)用所给编号列出所有可能的结果；

(ⅱ)设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率.

【考点涉及】抽样方法、古典概型概率的概念和计算.

【错解呈现】(Ⅱ)(ⅰ)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A2}，{A1,A3}，{A1,A4}，{A1,A5}，{A1,A6}，{A2,A3}，{A2,A4}，{A2,A5}，{A2,A6}，{A3,A4}，{A3,A5}，{A3,A6}，{A4,A5}，{A4,A6}，{A5,A6}，共15种.

(ⅱ)编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1,A5}，{A1,A6}，{A2,A5}，{A2,A6}，{A3,A5}，{A3,A6}，{A4,A5}，{A4,A6}，共8种.

【错点查找】(Ⅱ)(ⅱ)小问中编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果中漏掉A5和A6的两名运动员同时被选到的情况.

【出错归因】审题疏忽，看错或看漏条件，也可能抑制思维，导致低级错误.

【正解参考】(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.

(Ⅱ)(ⅰ)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A2}，{A1,A3}，{A1,A4}，{A1,A5}，{A1,A6}，{A2,A3}，{A2,A4}，{A2,A5}，{A2,A6}，{A3,A4}，{A3,A5}，{A3,A6}，{A4,A5}，{A4,A6}，{A5,A6}，共15种.

【反思总结】在古典概型中要对基本事件和样本空间把握精准，要认真审题，不放过任何条件，任何信息，要慎思之、明辨之.

【易错点7】条件概率模型辨析模糊

【案例7】(2010·安徽卷理·15)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 (写出所有正确结论的编号).

③事件B与事件A1相互独立;

④A1,A2,A3是两两互斥的事件;

⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1,A2,A3中究竟哪一个发生有关.

【考点涉及】随机事件的概率，条件概率和互斥事件.

【错解呈现】正确的是①③④.

【错点查找】以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，没有考虑“先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球”的前提.

【出错归因】双基不实，审题疏忽，混淆概念性质.

【易错点8】事件的符号表示不准确

【案例8】(2015·北京卷理·16)A,B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：

A组：10，11，12，13，14，15，16;

B组：12，13，15，16，17，14，a.

假设所有病人的康复时间相互独立，从A,B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.

(Ⅰ)求甲的康复时间不少于14天的概率；

(Ⅱ)如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

(Ⅲ)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)

【考点涉及】古典概型概率计算，独立事件，互斥事件，方差.

【错解呈现】设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bj为“乙是B组的第j个人”，i,j=1,2,3,…,7.

(Ⅱ)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，则C包含基本事件：

{A4B1,A5B1,A5B2,A6B1,A6B2,A6B6,A7B1，A7B2,A7B3，A7B6}

【错点查找】第Ⅱ问过程表述不清，运用概率概率加法公式没有考虑互斥条件、乘法公式没有考虑相互独立条件.

【出错归因】符号语言表述障碍，推理不严谨，属逻辑性失误

【正解参考】设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bj为“乙是B组的第j个人”，i,j=1,2,3,…,7.

(Ⅰ)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”甲的康复时间不少于14天的概率是

(Ⅱ)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长，”

由题意知C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，

(Ⅲ)由于A组是公差为1的等差数列，所以当a=11或a=18时，B组也是公差为1的等差数列，所以方差一定相等.

【反思总结】概率计算时，往往把一个复杂事件表示为几个互斥的事件的和，或先转化为对立事件，然后再把这些事件表示为基本事件的积；古典概型往往用列表、图示等方法，将基本事件有规律地罗列出来，避免基本事件的“重”和“漏”.

【易错点9】概率分布列的综合应用意识薄弱

【案例9】(2017·全国卷Ⅲ理·18)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

(Ⅰ)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；

(Ⅱ)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？

【考点涉及】随机变量分布列，古典概型概率计算，数学期望，函数最值.

【错解呈现】(Ⅱ)①当n≤200时：Y=n(6-4)=2n，此时Ymax=400，当n=200时取到.

②当200

此时Ymax=520，当n=300时取到最大值.

③当300

此时Y<520.

④当n≥500时，易知Y的值小于情况③下的数值.

综上所述，当n=300时，Y取到最大值为520.

【错点查找】符号表示不正确，问题考虑复杂了.

【出错归因】理解不透，忽略隐含条件，方法不当，舍简求繁.

【正解参考】(Ⅰ)易知需求量X可取200,300,500,

则X的分布列为：

X200300500P152525

(Ⅱ)①当200

Y200×2+(n-200)×(-2)2nP1545

此时EYmax=520，当n=300时取到最大值.

②当300

Y200×2+(n-200)×(-2)300×2+(n-300)×(-2)2nP152525

此时EY<520.

综上所述，当n=300时，EY取到最大值，最大值为520.

【反思总结】认真领悟题意，不难发现这样的隐含事实，当n<200时，供给不足，当n>500时，供给过剩.所以本案例只要考虑200