基于数学“问题引领”下的教学设计
2018-12-06朱善聪
摘 要：在数学课堂教学中落实核心素养关键在于教师课堂教学设计，数学学习重在培养学生的数学思维，而学生思维需要通过教师设计的问题进行引领。文章以函数单调性的教学设计为例，通过问题设计与学生交流互动，把学习的主动权还给学生，在课堂教学实践中培养学生核心素养。
关键词：核心素养；问题解决；教学设计；单调性
作者简介：朱善聪，浙江省台州市实验中学教师，中学高级教师，中国数学奥林匹克一级教练员。（浙江 台州 318000）
基金项目：本文系2016年市教育规划课题“高中数学核心内容教学的精细化设计”（编号：TG6283）的研究成果。
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2018）25-0042-04
2016年以来，教育界言必“核心素養”。如何培养学生的数学核心素养，成为当前高中数学课堂改革的一个焦点。章建跃博士在《树立课程意识，落实核心素养》一文中提出：数学育人要用数学的方式，把数学教好是落实核心素养的前提，在课堂教学中要示以学生思维之道，让学生能运用数学的思维和语言进行阅读、运算、推理和表达，让学生经历完整的获得对象——研究性质——应用拓展的过程。[1]由此可见，数学核心素养的培养必须要落实在课堂教学中，而关键在于提升教师核心素养引领下的教学设计水平。
思考是数学学习的基本方式，学生能否在学的过程中突显主体性与问题的设计紧密相关，“思维”是需要问题来引领的。教师对数学对象的理解把握，通过自己的方式转化为一个个问题，通过问题设计与学生形成交流，这是一堂数学课的价值所在。下文以“函数的单调性”新授课为例，分享笔者的实践与经验。
一、教学内容解析
函数的单调性是研究随自变量的不断增大，它的函数值是增大还是减小的性质。这是学生继了解函数概念后学习函数的第一个性质，对后续研究具体的初等基本函数如指数函数、对数函数、三角函数等单调性起着引领作用，具有典型意义，体现了对函数研究的普遍的方法。教材中函数单调性概念的形成历经了“形”到“数”，“特殊”到“一般”，“直观”到“抽象”的认知过程，先是由初中学过的一次、二次、反比例函数，直观感知函数的特征，接着结合二次函数图象的观察、分析、归纳，发现增、减变化的数字特征，进一步定量精确描述上述特征，这样学生就实现了图形语言、自然语言到符号语言的三种语言的转换学习。在这个过程中，借助图象或结合图象进行思考推理，体现了“数形结合”的思想方法，因而本节课在数学教学中具有核心地位。
教学重点：引导对函数增、减性进行抽象的符号描述，函数单调性形式化定义的形成。
教学难点：形成增（减）函数概念的过程中，用定义法证明函数的单调性。
二、学生学情分析
通过初中学习过的一次函数、反比例函数、二次函数，初步认识到函数是一个刻画某些运动变化关系的数学概念，进入高中后，又进一步学习了函数的概念，认识到函数是两个数集之间的一种对应。学生还知道函数有三种表示方法，具备了可以借助图象直观得出函数部分性质的能力，尤其是有了利用函数图象进行两个数的大小比较的经验。从知识层面看，学生已对函数的单调性有了初步的直观感知与定性描述。但学生缺少对用准确的数学符号语言刻画函数图象的上升与下降，实现从直观到抽象的转变，从形到数的翻译，这是他们认知上的一个困难点。因此，函数的单调性概念学习的关键在于如何将图形直观中的上升、下降改用数学中的比较大小来表达。
三、教学目标解析
基于以上分析，本节课的教学目标分解如下：
1. 通过观察一次、二次、反比例函数图象，形成增（减）函数的直观认识，再借助二次函数图象及函数值大小比较，认识函数值随自变量的增大而增大（减小）的规律，因此形成函数增减性的定义。
2. 能够举例说明函数在定义域的某个区间上具有单调性，而在整个定义域上不一定具有单调性，认识到函数单调性是个局部概念。
3. 能借助函数图象的直观性得出一些简单函数的单调性，能够用定义证明一些函数的单调性，熟悉证明的基本思路和步骤。
四、教学策略分析
教师的教学应从目标出发设计“核心问题”，核心问题应能引起学生的“认知冲突”。为了自然生成单调性概念，克服形式化定义给学生带来的理解上的不到位，教学中教师应以问题为导向，围绕核心内容进行问题深度设计，以三、四层次的问题，层层逼近数学对象的本质，引起学生共鸣，提升思维质量。
五、教学过程设计分析
本课的设计分为以下6个环节：观察图象，引入新课——合作探究、形成概念——动手实践、建构概念——初步应用、巩固概念——总结反思、精准概括——目标测评、获得经验。围绕核心问题组成“问题串”，强调“问题引领”学生学习，拉长学生的思考过程及改变学生学习方式中的重要作用。
1. 观察图象，引入新课。
接着让学生自己完成课本例题1。
（学生都可以从图象上直观得到结论）
【设计意图】
让学生直观感知函数图象，通过学生的观察，发现函数图象的“上升”“下降”的特征。
在学生回答的基础上教师可直接给出增（减）函数的一个（图形语言）定义：设函数的定义域为I，区间D？哿I。在区间D上，若函数的图象（从左至右）看总是上升的，则称函数在区间D上是增函数，区间D称为函数的单调增区间；在区间D上，若函数的图象（从左自右看）总是下降的，则称函数在区间上是减函数，区间D称为函数的单调减区间。
在数学教学中，从课堂提问到新概念的形成与确立，新知识的巩固与应用，学生思维方法的训练与提高，以及实际应用能力和创新能力的增强，均从“问题”开始。所谓“问题串”，就是由一连串具有逻辑联系的问题构成的问题系列。
2. 合作探究，形成概念。
问题2：当一个函数在某一个区间上是单调递增（或单调递减）的时候，相应的自变量的值与对应的函数值的变化规律是怎样的呢？也就是如何从数量关系来刻画函数的这种性质。
【设计意图】
3. 动手实践，建构概念。
【设计意图】
【设计意图】
【设计意图】
【设计意图】
让学生由特殊到一般，通过类比，尝试抽象概括函数的单调性的形式化定义。
一般地，如果函数y=f（x）对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1、x2，当时x1 如果函数y=f（x）对于定义域I内的某个区D间内的任意两个自变量x1、x2，当x1 如果函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在区间D具有（严格的）单调性，区间D叫作函数f（x）的单调区间。 【设计意图】 为什么要用任意两点的变化来刻画函数增减性这种变化特征，这是本节课的难点所在。我们通过问题导向，设计“问题串”不断启发学生思考；在问题引领下不断拉长学生的思考过程，从而深刻理解单调性概念形式化的本质。当然，企图在一节课中完成学生对函数单调性的真正理解是不现实的。在概念教学中，要从感性认识开始，使学生对概念表象，再上升到理性认识。这就要求教师不仅要把数学原理讲细讲透，还必须精准设计问题，使学生加深对数学原理的理解，拓展学生的思维。[2] 4. 初步应用，巩固概念 问题8：你能判断下列函数的单调性，并运用定义证明你的结论吗？ 【设计意图】 问题8先从“形”上去判断单调区间和单调性，再从“数”的角度去证明；问题9运用概念解题，强化函数的单调性的形式化定义。提供反面例证，辨析概念，巩固理解。 5. 总结反思，精准概括。 问题10：学习了“函数的单调性”，如果一个函数是单调递减的，那么这个函数有什么特征？能从“数”和“形”两个角度说一说吗？ 【设计意图】 总结研究问题的过程，从直观图形、定性刻画到定量刻画，最后转化为用不等式的方式通过“大小比较”的方法刻画了函数的变化特征，體现了数学的“精准”本质。[3] 6. 目标测评，获得经验。 【设计意图】 新授课的测评，目的在于让学生在运用定义法证明函数单调性的过程中，体验代数论证的逻辑思维。对于高一的学生来说，在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的。通过问题（1）进一步强化函数单调性的形式化定义；通过问题（2）可以引起认知冲突，可以看作是（1）的变式训练；通过问题（3）提高学生的代数逻辑推理能力。测评既是对习得知识能力的反馈回应，也为教师进行下一个教学设计提供了方向。因此，教师在“问题串”的设计上应体现梯度性和过渡性，备课时要在精细化上下功夫，使学生在“问题串”的引导下，通过自身积极主动的探索，实现由未知向已知的转变。在本质上就是促使学生自己提出问题并想方设法解决问题，提高他们分析问题和解决问题的能力。 六、教学反思 德国教育家第斯多惠给了我们一个忠告：“一名坏的教师奉送真理，一名好的教师教人发现真理。”“以生为本”是新课程改革的核心理念，更是课堂教学的出发点和归宿点。由于数学思维就是解决数学问题的心智活动，所以数学思维是由问题引起的，总是指向问题的变换，总是表现为不断地提出问题、分析问题和解决问题。上述教学过程设计，让学生历经从图形语言、文字语言向符号语言转换的过程，让学生体会从具体到抽象、从特殊到一般、从定性到定量的数学思想方法，以问题为导向启发学生独立思考，引领学生合作交流，关注学生数学核心素养的培养。 正如南京大学郑毓信教授所说，确实应当将“善于提问”看成数学教师最重要的一项能力，即如何能由具体教学内容提炼出相应的“本源性问题”，又如何能够通过进一步的加工很好地发挥“问题”的“驱动作用”。[4]综上所述，“问题引领”下的课堂教学设计是数学教学实现学生与教师“双中心”的一个有效手段。 参考文献： [1] 章建跃.树立课程意识，落实核心素养[J].数学通报，2016，（5）. [2] 朱善聪.数学核心内容教学的问题串精细化设计[J].新课程研究，2016，（4）. [3] 张奠宙.解放思想，也来说说数学核心素养[J].中国数学教学参考，2017，（10）. [4] 郑毓信.数学教育的“问题导向”[J].中国数学教学参考，2018，（3）. 责任编辑 黄 晶
