创新命题 推陈出新——电场与磁场创新题赏析(一)

■江苏省江阴高级中学 徐汉屏(特级教师)

电场与磁场相关知识是高中电磁学的基础,是历年高考的热点之一,主要涉及电场强度、电势、电势能、磁感应强度等概念的分析,带电粒子在电场或磁场中运动的计算等。在2018年各地模拟试卷和高考卷中出现了不少关于电场和磁场的创新题,值得关注。

一、电场创新题赏析

创新题1:如图1所示,空间有一圆锥O B B′,点A、A′分别是两母线的中点。现在顶点O处固定一正的点电荷,下列说法中正确的是( )。

A.A、A′两点的电场强度相同

B.平行于底面的圆心为O1的截面为等势面

C.将一正的试探电荷从A点沿直径移到A′点,静电力对该试探电荷先做正功后做负功

D.若B点的电势为φB,A点的电势为φA,则B A连线中点C处的电势φC小于

图1

解析:由点电荷的电场线分布情况可知,A、A′两点的电场强度大小相等,方向不同。由等势面与电场线垂直可知,平行于底面的圆心为O1的截面不是等势面。将一正的试探电荷从A点沿直径移到A′点,该试探电荷相对O处固定的正点电荷先靠近后远离,静电力对该试探电荷先做负功后做正功。将点电荷产生的电场的微小区域视为匀强电场,则由U=E d并累加可知,UAC＞UCB,即φA-φC＞φC-φB,解得答案为D。

A.电荷Q是正电荷

B.A、B、C三点电势的大小关系是φA=φC＞φB

C.A、B、C三点场强的大小关系是EA=EC＞EB

D.该粒子经过A、B、C三点时动能的大小关系是EkA=EkC＞EkB

图2

提示:带电粒子运动的轨迹向外侧弯曲,说明粒子所受静电力向外,因为粒子带负电,所以电荷Q是负电荷。在负点电荷产生的电场中,电场线方向由无限远处指向负点电荷,顺着电场线方向电势降低,因此φA=φC＞φB。在点电荷产生的电场中,离场源电荷越近,场强越大,所以EA=EC＜EB。带电粒子在运动过程中遵循能量的转化和守恒定律,即EkA+EpA=EkB+EpB=EkC+EpC,因为φA=φC＞φB,根据Ep=q φ,考虑到q是一个负电荷,所以EpA=EpC＜EpB,由此可得EkA=EkC＞EkB。答案为B D。

小结:创新题1与上述常规题均涉及电场强度与电势的分析,而创新题1在上述常规题的基础上,将平面内的分析拓展到了立体空间,对分析能力提出了更高的要求。

现学现练:如图3所示,匀强电场中的点A、B、C、D、E、F、G、H 为立

方体的八个顶点。已知G、F、B、D四点的电势分别为5V、1V、2V、4V,则A 点的电势为( )。

A.0

B.1V

C.2V

D.3V

图3

思路点拨:本题与创新题1均要求在空间范围内对电场进行分析。在匀强电场中,由公式U=E d可知,沿着任意方向前进相同距离,电势差必定相等。因为G F∥C B,且G F=C B,所以φG-φF=φC-φB,即φC=φG-φF+φB=5V-1V+2V=6V。同理,φA-φB=φD-φC,φA=φB+φD-φC=2V+4V-6V=0。答案为A。

创新题2:空间存在一静电场,电场中的电势φ随x的变化规律如图4所示。下列说法中正确的是( )。

A.x=4 m处电场强度可能为零

B.x=4m处电场方向一定沿x轴正方向

C.电荷量为e的负电荷沿x轴从O点移动到x=6m处,电势能增大8e V

D.沿x轴正方向,场强先增大后减小

图4

解析:φ-x图像的斜率的绝对值等于电场强度沿x轴方向分量的大小,因此x=4m处电场强度不为零。从x=0到x=6m处电势不断降低,但x=4m处电场方向不一定沿x轴正方向。电荷量为e的负电荷沿x轴从O点移动到x=6m处,电势能增大量ΔEp=e U=8e V。沿x轴正方向,φ-x图像斜率的相对值先减小后增大,因此电场强度先减小后增大。答案为C。

A.EBx的大小大于ECx的大小

B.EBx的方向沿x轴正方向

C.电荷在O点受到的静电力在x轴方向上的分量最大

D.负电荷沿x轴从B点移动到C点的过程中,静电力先做正功,后做负功

图5

提示:φ-x图像的斜率的绝对值等于电场强度沿x轴方向分量的大小,因此EBx＞ECx。同理可知,O点场强在x轴方向上的分量最小,电荷在该点受到的静电力在x轴方向上的分量最小。沿电场线方向电势降低,在O点左侧,EBx的方向沿x轴负方向,在O点右侧,ECx的方向沿x轴正方向。负电荷所受静电力的方向与场强相反,由此负电荷沿x轴从B点移动到C点的过程中,静电力先做正功,后做负功。答案为A D。

小结:创新题2与上述常规题同属对电场中φ-x图像的分析,不同的是创新题2的图像延伸到了x轴下方,且既需定性分析,又需定量计算,难度有所增加。

现学现练:a、c、d、b依次为x轴上的四个点,a与b、c与d均关于原点O对称。a、b两点固定着两个电荷量相等的点电荷,如图6所示的Ex-x图像描绘了x轴上部分区域的电场强

度变化情况(以x轴正方向为电场强度的正方向)。下列判断正确的是( )。

图6

A.c、d两点的场强相同

B.c、d两点的电势相同

C.正的试探电荷从c点移动到d点静电力做负功

D.负的试探电荷在c处的电势能较d处的大

思路点拨:本题与创新题2均是电场的图像分析问题,只是由φ-x图像变成了Ex-x图像。a、b两点固定着两个电荷量相等的点电荷,中点O处的电场强度为负值,说明两点电荷是等量异种电荷,且a、b两点分别为负电荷和正电荷。根据两等量异种点电荷电场线的分布情况可知,c、d两点的场强相同,c点的电势低于d点的电势,负的试探电荷在c处的电势能较d处的大。正的试探电荷从c点移动到d点,是逆着电场线移动,静电力做负功。答案为A C D。

二、磁场创新题赏析

图7

创新题3:(2018年高考全国Ⅱ卷)如图7所示,纸面内有两条互相垂直的长直绝缘导线L1、L2,L1中的电流方向向左,L2中的电流方向向上;L1的正上方有a、b两点,它们相对于L2对称。整个系统处于匀强外磁场中,外磁场的磁感应强度大小为B0,方向垂直于纸面向外。已知a、b两点的磁感应强度大小分别为方向也垂直于纸面向外。则( )。

A.流经L1的电流在b点产生的磁感应强度大小为

B.流经L1的电流在a点产生的磁感应强度大小为

C.流经L2的电流在b点产生的磁感应强度大小为

D.流经L2的电流在a点产生的磁感应强度大小为

解析:设流经L1的电流在a点产生的磁感应强度大小为B1a,方向垂直于纸面向里;流经L2的电流在a点产生的磁感应强度大小为B2a,方向垂直于纸面向里;流经L1的电流在b点产生的磁感应强度大小为B1b,方向垂直于纸面向里;流经L2的电流在b点产生的磁感应强度大小为B2b,方向垂直于纸面向外。因为导线L1、L2相互垂直,且a、b两点相对于L2对称,所以B1a=B1b,B2a=B2b。以垂直于纸面向里的方向为正方向,由磁场的矢量叠加法则得答案为A C。

A.1区

B.2区

C.3区

D.4区

图8

提示:先应用安培定则分析六根通电导线在各区域产生的磁场的方向,再根据磁场的矢量叠加法则可定性判断出指向纸面内的磁场最强的区域是4区。答案为D。

小结:创新题3与上述常规题均需应用安培定则和磁场的矢量叠加法则,分析几根通电导线周围的磁场。创新题3的新颖之处在于需对磁感应强度进行定量计算,其难度明显大于上述常规题。

图9

现学现练:无限长通电直导线在周围某一点产生的磁场的磁感应强度B的大小与电流成正比,与导线到这一点的距离成反比,即(式中k为常数)。如图9所示,两根相距为L的无限长直导线分别通有电流I和3I,在两根导线的连线上有a、b两点,a点为两根导线连线的中点,b点到通有电流I的导线的距离为L。下列说法中正确的是( )。

A.a点和b点的磁感应强度方向相同

B.a点和b点的磁感应强度方向相反

C.a点和b点的磁感应强度大小之比为8∶1

D.a点和b点的磁感应强度大小之比为16∶1

思路点拨:本题与创新题3一样,需要对通电导线叠加场的磁感应强度进行定量计算,还涉及对题给公式的运用。取竖直向下为正方向,根据安培定则和磁场的矢量叠加法则得a、b两点的磁感应强度分别为二者的方向相同,大小之比为16∶1。答案为A D。

图10

创新题4:如图10所示,在平面直角坐标系x O y的第一象限内,存在磁感应强度大小为B的匀强磁场,方向垂直于纸面向外。在y轴上的A点放置一放射源,可以不断地沿x O y平面内的不同方向以大小不等的速度放射出质量为m、电荷量为+q的同种粒子,这些粒子打到x轴上的P点。已知O A=O P=l,则( )。

图11

解析:设粒子的速度大小为v时,其在磁场中的运动半径为R,由牛顿运动定律得若粒子以最小的速度到达P点,则其轨迹一定是以A P为直径的圆弧(如图11中圆O1所示),由几何关系知sAP=l,R=则粒子的最小速度粒子在磁场中的运动周期设粒子在磁场中运动时的轨迹所对应的圆心角为θ,则粒子在磁场中的运动时间在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹是图11中圆O2的一部分,此时粒子的初速度方向竖直向上,由几何关系得θ=3π,因此粒子在磁场中运动的最

图12

A.粒子带正电

B.粒子带负电

C.粒子由O点到A点经历的时间t=πm 3q B

D.粒子的速度没有变化

提示:根据粒子的偏转方向,由左手定则可知粒子带负电。粒子由O点运动到A点,速度方向偏转了60°,故经历的时间在此过程中,粒子的速度大小未变,但方向发生了变化。答案为B C。

小结:创新题4与上述常规题类似,均涉及带电粒子在分布于平面直角坐标系第一象限内的匀强磁场中做部分匀速圆周运动,其创新之处在于将粒子沿单一方向的入射,改成了从不同方向以大小不等的速度入射,求解时要求对临界情况有较强的分析能力。

图13

现学现练:如图13所示,空间存在垂直于纸面的匀强磁场,一粒子发射源P位于足够大的绝缘板A B上方,间距为d,在纸面内向各个方向发射速率均为v的同种带电粒子,不考虑粒子间的相互作用和粒子自身的重力。已知粒子做圆周运动的半径也为d,则粒子( )。

B.能打在板上的区域长度是2d

思路点拨:本题与创新题4相似,同样涉及带电粒子在匀强磁场中做部分匀速圆周运动的临界问题。打在板上粒子运动轨迹的临界状态如图14甲所示,根据几何关系可知,带电粒子能打在板上离P点的最远距离s=2R=2d,能打在板上的区域长度l=R+最长和最短的运动轨迹示意图如图14乙所R=(1+)d。粒子在磁场中运动时间示,根据几何关系可知,最长时间最短时间又有粒子在磁场中运动的周期解得答案为C。

图14

编者注:带电粒子在电场或磁场中的运动是同学们学习电场和磁场时的重点也是难点,本文仅仅展示了带电粒子在单一电场或磁场中的运动,下期将着重介绍带电粒子在电、磁复合场中的运动,敬请期待。