数学课堂教学的厚度、宽度和长度——《正弦、余弦定理习题课》的教学设计与感悟

江苏省无锡市立人高级中学 (214161)

郑宝生 赵 勤

作为数学课的一种重要形式——习题课，有些教师把它上成解题训练课，大搞题海战术以多取胜；也有些教师搞题型分类课，让学生见到什么题型就用什么解法，固化学生的思维．我们有必要重温一下普通高中《数学课程标准》：“数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴含在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态．”反思我们的习题课教学，如何在解题中讲道理、夯实基础？如何设计适合学生的探究活动、拓展知识、开阔思维？如何让学生在归纳总结中提炼思想，体验成功乐趣，发展理性思维？本文以《正弦、余弦定理习题课》为例，谈谈对这一问题的认识．

一、习题课例

(一)目标解析

通过学生练习回忆正弦定理和余弦定理，体会什么条件下用正弦定理，什么条件下用余弦定理，什么条件下解三角形会产生两解；通过求三角形的边或角拓展问题，找出解三角形的一般方法；通过解题改编问题，找出处理三角形中角的关系式、边的关系式、三角函数关系式的一般规律．在操作中反思，学习质疑问题，培育理性精神；在求解中探索，激发学生的主体意识，拓展思维宽度；在解题后改编问题，发挥学生的主体作用，提炼思想方法．

(二)学情分析

学生对于正弦、余弦定理的简单应用是能够解决的．然而，他们对于“在什么条件下用正弦定理、什么条件下用余弦定理”存在疑虑，很少思考“为什么用正弦定理而不用余弦定理？”的问题，缺乏反思问题和质疑问题的意识，更想不到去拓展问题和改编问题．本节课的重点是：寻找求解三角形边和角的一般规律和方法；难点是：如何处理三角形中角的关系式、边的关系式以及三角函数关系式．

(三)教学过程

1．练习回顾

设置意图：给学生提供最简单、最直观的例子，让学生在操作中感悟问题及问题的解法．

2．提出问题

问题1 解完上述题目，你有什么感受？

活动预设：(1)解上述题目，需要用到哪些知识？

(2)在什么条件下用正弦定理，什么条件下用余弦定理？说明理由．

(3)题1能否用余弦定理来解？题2能否用正弦定理来解？题3呢？哪种方法更简单？说明理由．

(4)为什么题1和题2只有一个解而题3会产生两解？

设置意图：通过学生的解题，让学生谈感受．他们可以回顾所学知识，也可以对我们一般的解题方式提出质疑，也可以对上述三个问题进行比较等等．留出更多的时间，让学生说出自己的困惑，解答内心的疑虑．

例1 判定下列三角形各有几解？

(1)b=13，a=26，B=30°；

(2)c=16，b=26，C=30°；

(3)a=30，b=26，A=30°．

【回顾】判定三角形有几个解，关键是什么？

设置意图：由于本节课是习题课，学生已经学习了已知两边一对角判定其解的个数，这里一方面让学生复习巩固，另一方面把原来用式子表达：当bsinA

问题2 对于题2你认为还可以求什么？

活动预设：(1)求cosB、tanC；(2)求面积SΔABC；(3)求BC边上的高和中线以及∠B的平分线．

设置意图：把一个简单问题利用学生的聪明才智可以扩展出许多问题，给学生提供一个联想和发现的机会，演绎问题的变化过程，激发学生的主体意识．

图1

例2 如图1，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BAD=60°，∠BCD=135°，求BC的长及sin∠ABC．

【回顾】在上述问题中，求三角形的边和角有怎样的规律？

设置意图：结合问题2中求BC边上的高和中线以及∠B的平分线，归纳并概括求解三角形边和角的一般思维方法，培养学生分析问题和解决问题的能力．

问题3 你能把题1做一些改变吗？变得更简单些或变得更难些．

(2)△ABC中，A=4C,b=c，则∠C= ；

设置意图：依托题1进行的问题改编，有一定的开放空间．从边的数值和角的数值，上升到角与角的关系和边与边的关系，还可以利用三角函数的关系以及三角形面积、外接圆等，有些问题容易解，有些问题解起来有困难，可以留在课后．这里只是给学生搭建一个发挥想象、展示个性的创新平台，让学生的主体作用得到充分地发挥．

【回顾】①解上述问题有何规律？

设置意图：在开放的空间中聚焦到某一个问题上．总结处理角的关系和边的关系以及三角函数关系式的一般方法，提炼体现这些方法的数学思想．

3．课堂小结

(1)从知识角度看：正弦定理、余弦定理；

(2)从思想方法角度讲：通过正、余弦定理来处理三角形中的角的关系式、边的关系式、三角函数的关系式，充分体现化归的思想方法；

(3)在研究问题上，解题后学会反思问题，学会拓展问题，学会变更问题，从而提高课堂的效率和解题的价值．

二、教学感悟

习题课是数学教学的一类重要课型，怎样才能上好数学习题课？从解题的角度讲，我们希望用几个简单而典型的题目来解决较多的问题，更愿意看到学生经历一个由被动参与到主动探索的过程，培养学生思维能力．如何达成这些目标？以下从“三度”的角度来表述．

1.反思问题，增加知识的厚度

学生仅会解题，而题目是解不完的．因此我们增加了问题反思这样的教学环节，可以寻求一类问题的规律，更重要的是让学生从直观、感性逐步走向理性．首先，对知识和方法的反思．学生知道已知两角一边用正弦定理，已知三边用余弦定理，然而他们心中还是存有疑虑，为什么要这样呢？我们通过列方程或方程组回答了这个问题，在解除学生疑虑的同时体现了列方程的思想方法．其次，在解三角形中对解的个数的质疑．通过定量分析，由正弦定理、余弦定理的计算可知；再通过定性分析，由初中的三角形全等判定定理知，边边角无法判定两个三角形全等，说明已知两边一对角无法确定这个三角形，既增加了知识的可信度又增加了知识的厚度．最后，既然已知两边一对角无法确定这个三角形，那么它的解的情况会怎样？这是必然要回答的问题．所以在学生原有知识的基础上，对已知两边一对角有两解的条件进行了语言概括，让所学知识有一个螺旋上升的过程．这样的经验积累，既有学习方法上的积累又有知识的理解，更有利于学生对知识的灵活运用．

2.拓展问题，扩大思维的宽度

解题不是目的，是认识问题、扩展问题的开始．通过解答简单的题2，开始寻找可以求解的其它问题，将问题逐步向前推进，这样的探求过程演绎了问题的来龙去脉，以及各种不同的发展走向，问题由简单逐渐变为复杂，知识的运用也越来越灵活，开阔了学生的视野，打开了学生的思路．其次，如果说让学生反思可以缺少一点主动的话，那么拓展问题需要学生积极思考和主动参与，在相互交流和碰撞中，激发学生的主体意识，展示学生的聪明才智，让学生发现更多的问题，解决更多的问题，这样的一题多问是用学生的发现替代教师的提问，最大限度地扩展学生的思维，让学生从被动的解题者变为主动的出题人．最后，我们不能为了变化而变化，而要回归到某一个问题上来，在解决例2的过程中概括一般规律，总结思想方法，让学生真正体会到：“万变不离其宗”的道理．

3.改编问题，延伸课堂教学的长度

数学习题课关键在于调动学生的学习积极性，让学生由被动跟随转变为主动参与，再由主动参与变化为自主探索，这种探索不仅限于课内，还能延伸到课外，没有学生的兴趣和热爱是做不到的．只有这样才能增加知识的厚度，拓展思维的宽度并延伸课堂教学的长度．