对2018江苏高考解几压轴题的探究

江苏省灌南高级中学 (222500)

刘鑫钧 宋予林

本文就2018年江苏省高考解析几何压轴题及母题的背景及共性分析，实现一般模型的提炼，通过一般模型不断改变、变更条件，更换问题及整合关联等过程性变式从不同角度，不同层次深化认识高考试题的本质，提升学生的探索精神与创新意识，从而培养学生的核心素养．

图1

一、试题再现

(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

图2

二、背景及共性分析

(一)背景：此题是如下一道常见的母题改编而来.

(1)求椭圆C的标准方程；

(二)共性分析

母题与高考题的共性主要有以下四个方面：

1.第二问的大前提一致：都是直线l与圆相切于第一象限；

2.条件一致：都是直线与椭圆交于A,B两点；

3.题型一致：均是已知ΔOAB的面积值，求直线l的方程；

4.解法一致：第一问略.

母题解法：仅仅是r,a,b在数值上有所不同，两题在AB,d,SΔAOB计算过程完全一致.

三、试题挖掘

(一)通性通法

椭圆是高考的重点和难点，在椭圆的教学中，不能仅仅停留在一题一法的研究上，更要将一类问题的思想方法提炼出来，即通性通法的研究.

(二)扩展研究

1.模型提炼

普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《标准》)提出，要培养学生数学抽象的核心素养，即学生能从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征.

显然.高考题与母题中，椭圆与圆的中心均是原点，直线与圆相切，并与椭圆相交，则椭圆与圆的位置关系主要有以下三种关系：相交，内切，内含，分别如下图所示.记这三种图分别为图Ⅰ、图Ⅱ、图Ⅲ.这三种图形代表着三种不同的模型，这样我们发现高考题的背景就是图Ⅰ、而母题就是图Ⅱ.

这样用图形语言进行表征，以简驭繁，把握这类题型的本质，抽象出高度概括、表达准确、结论一般的三种模型.

图Ⅰ 图Ⅱ 图Ⅲ

2.过程性变式

《标准》要求，改变过分强调知识灌输的倾向，将过程与方法的学习作为数学课程的重要目标，强调在学习过程中领悟与体验，那么在平常的解题教学中如何落实呢？变式教学是有效落实目标的一种有效方式.

顾泠沅等学者把变式教学分为概念性变式和过程性变式教学两类.概念性变式教学突出对概念内涵的理解，过程性变式教学突出对概念外延的应用，注重知识之间的联系和拓展，通过过程性变式教学，使数学教学有层次地递进[1].利用过程性变式可以对一个初始问题进行变式，从而深化对这类问题的认识.

⑴改变元素

①改变r的大小

②改变面积

设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．直线l与椭圆C交于A,B两点，求SΔAOB的范围.

③改变r与面积

改变r的大小，由模型Ⅰ变为模型Ⅱ或模型Ⅲ，条件中由给定面积值求直线方程改为，求面积取最大值时，求直线l的方程.

⑵变更条件

变更条件是指通过添加或去除、替换等方式改变初始问题的某些条件，而探索原结论或相关结论的变化情况的方式，从而实现从多角度，多层面深度认识问题的本质.

①变更面积条件为弦长条件

⑶更换问题

更换问题是指：背景大致相同，在初始条件不变或稍加改变之下，提出新的结论，探索新的问题.譬如高考题中椭圆与圆的位置关系是图Ⅰ，可以改为图Ⅱ位置关系，计算面积值改为求AB最值或范围问题，得到变式5.

⑷整合关联

整合关联是指:在直线与圆相切背景不变下，改变条件或在改变元素的基础上，把条件之间的关系或结构进行改造，研究相关问题或结论的方式.比如以图Ⅲ为背景，已知直线方程过某一点，求S△AOB的值并探究OA,OB之间关系得到变式6.在图Ⅲ的背景下，探求交点到切点距离与交点到焦点距离乘积的范围，增加条件提出其它问题得到变式7.

图3

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l与圆O：x2+y2=2相切，与椭圆C相交于A，B两点．

①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△AOB的面积；

②求证：OA⊥OB．

图4

(1)求椭圆C的方程；(2)求PM·PF的取值范围；(3)若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值.

四、结束语

G·波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”.在高三数学教学中，试题难度大，容量多，数学问题的解决仅仅完成了一半，更重要的一半在于对解题后的回顾、反思.如何发现不同试题，特别是培养学生发现高考题与我们练习题之间的区别、共性比仅仅解决问题更重要，能提炼出一般的模型，即培养学生数学抽象能力，在过程性变式教学中培养学生逻辑推理、数学运算的能力，有效地提高学生的数学核心素养.