优化作业设计 提升核心素养——以“函数的单调性与导数”课后作业优化设计为例

广东省东莞高级中学 (523128)

刘心华

一、问题的提出

练习与作业是数学教学的一个重要组成部分，它是掌握知识，形成技能，发展能力，感悟思想、积累经验的重要途径和显示教学效果的重要环节.在课堂教学中，教学的成效和练习与作业因素有很大的关联，练习与作业可以出质量，但练习与作业也可能加重学生负担.

新修订的《普通高中数学课程标准》(2017年版)提出高中生在数学学习中应培养好数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大核心素养，其基本框架是以培养“全面发展的人”为核心.作为引导学生巩固所学知识、检测学生的学业质量的重要手段，练习与作业在落实学业质量要求、促进核心素养发展等方面起着不可替代的作用.如何结合课堂教学内容，基于课本优化设计课后练习与作业，促使学生更好地理解学习内容，形成和发展学生的数学能力，提升学生的核心素养，是新一轮课程改革中每一个老师都应该思考的问题.

二、优化作业设计

优化作业设计离不开课本，因为课本中的例习题是编者精心挑选，再三酝酿后挑中的，具有典型性、示范性和针对性，既可以帮助学生理解基础知识、进行思维训练，又可以帮助学生掌握数学思想方法，培养发展能力，提升核心素养.新课程倡导“用教材教”而不是“教教材”，其目的就是要求教师能够灵活地、创造性地使用教材，其中就包括作业的优化设计.除了课本例习题，高考及模拟题也是作业优化设计的重要资源.下面以“函数的单调性与导数”课后作业优化设计为例，探讨高中数学练习与作业优化的方法.

(一)作业设计背景情境化

作业设计背景情境化是指练习与作业的优化设计要突出作业的背景情境，如现实情境、数学情境、科学情境、文化情境等.要把握背景情境创设和发展“四基”间的关系，背景情境中要创设有价值的问题，问题的设计又驱动着情境的展开，并决定着练习与作业的设计意图的实现程度.如“函数的单调性与导数”课后巩固原函数与导函数的图像间关系问题，基于课本优化设计如下的一组练习与作业问题：

1、如图所示的是函数y=f(x)的导函数f′(x)的图像，则下列判断正确的是(C).

A．在区间(-2,1)上y=f(x)是增函数

B．在区间(1,3)上y=f(x)是减函数

C．在区间(4,5)上y=f(x)是增函数

D．在区间(-3,-2)上y=f(x)是增函数

2、若函数y=f(x)的导函数在[a,b]上是增函数，则函数y=f(x)在[a,b]上的图像可能是(A).

A. B. C. D.

3、若函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一，其导函数y=f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是(B).

A. B. C. D.

4、设f′(x)是函数y=f(x)的导函数，将y=f(x)和y=f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，则下列图中不可能正确的是(D).

A. B. C. D.

5、已知函数y=xf′(x)的图像如图所示(f′(x)是函数y=f(x)的导函数)，下面四个图像中y=f(x)的图像大致是(C).

A. B. C. D.

6、已知函数y=f(x)的图像如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(B).

A.f′(xA)>f′(xB)B.f′(xA)

C.f′(xA)=f′(xB)D.不能确定

第6题图 第7题图 第8题图

7、已知函数y=f(x)满足f(4)=f(-2)=1，f′(x)是函数y=f(x)的导函数，且导函数y=f′(x)的图像如图所示，则f(x)<1的解集是(-2,4).

本组练习与作业来自课本例习题及改编，优化设计了有关图像的问题情境，通过读图、识图、想图、用图：理解导数与单调性要联系到瞬时变化率，导数反应了函数f(x)在点x附近变化的快慢，导数是曲线上某点处切线的斜率.若在某区间f′(x)>0，则函数y=f(x)在此区间递增；若在某区间f′(x)<0，则函数y=f(x)在此区间递减；反之若函数y=f(x)在某区间递增，则f′(x)≥0；若函数y=f(x)在某区间递减，则f′(x)≤0.若f′(x)>0且递增，则原函数y=f(x)图像递增且下凹；若f′(x)>0且递减，则原函数y=f(x)图像递增且上凸；当f′(x)<0判定方法类同.

基于课本优化设计图像的问题情境，目的在于不仅让学生在认识原函数与导函数的图像关系上有所收获，而且加深学生对函数的单调性与导数关系的理解，并体会其中蕴含的丰富的数学思想，提升数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养.这也是优化设计练习与作业背景情境的三个重要标准：有助于学生分析问题和解决问题；有助于学生了解知识的来龙去脉；有助于学生领悟问题蕴含的数学思想方法.优化的练习与作业要具有一定的挑战性，与所要考查的数学内容有着本质联系.

(二)作业设问角度多样化

作业设问角度多样化是指结合课堂教学内容，多角度优化设计作业，让数学学科核心素养在学生与作业问题的有效互动中得到提升.多角度设问可以引导学生以数学的眼光观察现象发现问题，用恰当的数学语言描述问题，用数学的思想方法分析和解决问题，在分析和解决问题的过程中，理解数学内容的本质，促进数学核心素养的形成和发展.如“函数的单调性与导数”课后巩固用导数求函数的单调区间问题，基于课本优化设计如下的一组练习与作业问题：

(设计意图：利用导数求函数单调区间的步骤)

(设计意图：单调区间只能是定义域的子集)

3、求函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间.【单调递增区间(2,+∞)】

(设计意图：在f(x)=f1(x)·f2(x)的单调递增区间内，f1(x)，f2(x)不一定都是单调递增函数)

(设计意图：求分段函数的单调区间也就是在每段上求相应函数的单调区间.评讲作业时可引申探究，若没有a=1这个条件，如何讨论解答.)

(设计意图：导函数出现分母，通分之后再写单调区间更方便.评讲作业时可引申探究，若没有a<0这个条件，如何讨论解答.)

6、求函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调递增区间.【单调递增区间为(-∞,-1)和(11,+∞)】

(设计意图：函数的两个单调性相同的区间，一般不用“∪”连接)

7、设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3，其中a>0，讨论f(x)在其定义域上的单调性.

(设计意图：二次导函数的二次项系数是负的，单调区间容易求反.评讲作业时可引申探究，若没有a>0这个条件，如何讨论解答.)

(设计意图：利用导数求函数的单调区间；使函数解析式无意义的值，一般和函数图像的渐近线相关)

9、求证：当n∈N*，且n≥3时，2n>2n+1.【构造f(x)=2x-2x-1，且x≥3时f′(x)=2x·ln2-2≥f′(3)>0】

(设计意图：作差构造函数，利用函数的单调性证明不等式)

本组练习与作业来自课本习题及变式，多角度优化设计作业题组，让学生经历判断、推理、论证、反思等理性思维过程，明确用导数求函数的单调区间的步骤、答题规范、错点盲点难点，完善学生的认知结构，帮助学生理解概念、明晰算理、把握本质，厘清知识的来龙去脉，建立知识之间的关联.

基于课本优化设计练习与作业的角度可以是：知识形成过程的关键点、解决问题策略的关节点、知识联系的联结点、问题变式的发散点、学生思维的最近发展区.优化设计对学生数学思维有启发的作业题组，引导学生的作业活动，促进学生核心素养的提升.

(三)作业思维方法套路化

作业思维方法套路化是指练习与作业解答的“套路化”，这里的“套路”是指通性通法.通性通法是有着普遍性的数学思想方法，是对数学知识最高层次的概括与提炼.注重通性通法，淡化特殊技巧是新课标对于学生学习数学的基本要求.作业优化设计注重通性通法，可以帮助学生学会数学地思考问题的方式，提高数学思维能力，培育理性精神.如“函数的单调性与导数”课后巩固利用单调性求参数的范围问题，基于课本优化设计如下的一组练习与作业问题：

(设计意图：函数的单调区间是(x1,x2)，那么x1,x2必定是方程f′(x)=0两个根)

(设计意图：函数在(m,n)上单调递增，不等式f′(x)≥0在(m,n)上恒成立)

3、若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减，求实数a的取值范围.【a∈[1,+∞)】

(设计意图：函数在(m,n)上单调递减，不等式f′(x)≤0在(m,n)上恒成立)

4、设a>0，函数f(x)=x3-ax在区间[1,+∞)上是单调函数，求实数a的取值范围.【a∈(0,3]】

(设计意图：讨论函数在(m,n)上单调递增或减，不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在(m,n)上恒成立)

5、如果函数f(x)=2x3+ax2+1在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增，在(0,2)内单调递减，求a.【a=-6】

(设计意图：函数在(-∞,m)和(n,+∞)上单调递增，在[m,n]上单调递减，不等式f′(x)≥0解集是(-∞,m]和[n,+∞))

(设计意图：若函数f′(x)>0，则f(x)为增函数；若f′(x)<0，则f(x)为减函数；若函数f′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数；一元三次函数f(x)在(m,n)上不单调，也就是有极值点，等价于函数f′(x)在(m,n)上存在零点.)

(设计意图：函数在(m,n)上存在单调增区间，等价于存在x0∈(m,n)满足f′(x0)>0)

8、若函数f(x)=x3+bx有三个单调区间，求实数b的取值范围.【b∈(-∞,0)】

(设计意图：三次函数有三个单调区间，等价于函数f′(x)有两个零点)

(设计意图：函数单调性定义与导数，观察不等式结构特点构造函数，转化为不等式恒成立问题.)

本组练习与作业来自高考及模拟题的改编，优化设计突出通性通法，作业题以提升数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养为导向，通过学生对不同类型逆向思考问题的解答，帮助学生掌握解答此类问题的通性通法，积累数学思维的经验，感悟数学基本思想方法.

基于课本优化设计练习与作业的关键是要把握好具有普遍指导意义的通性通法，要遵循学生的特点，按照新课标的理念要求，立足学生数学学科核心素养的培养，摒弃应试式作业思维，积极探索，优化设计出能促进学生改善和提高学习数学效益的课后练习与作业.

(四)作业选择差异分层化

新修订的《普通高中数学课程标准》指出，高中数学课程面向全体学生，实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”.这就要求教师在布置作业时要尊重差异，找准学生学习的最近发展区，优化设计阶梯式分层作业，让不同层次学生自由选择，达到相应单元的学业要求，同时更深层次地唤醒学生对数学学习的需要，最终实现人人能作业、个个有发展.如“函数的单调性与导数”第二课时后，基于课本优化设计了如下一组学业水平达标(必做题)与学科能力提升(选做题)的分层作业：

学业水平达标作业(必做题)：

1、函数y=x+xlnx的单调递减区间是(B).

A.(-∞,e-2)B.(0,e-2)

C.(e-2,+∞)D.(e2,+∞)

2、若函数f(x)=ax3-x在R上是减函数，则(A).

3、若函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图像如图所示，则y=f(x),y=g(x)的图像可能是(B).

A. B. C. D.

4、下列区间是函数y=xcosx-sinx的一个单调递增区间的是(B).

A.[-1,0]B.[-1,+∞)

C.[0,3]D.[3,+∞)

6、若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调减区间为[-1,2]，则b= ,c= .【b=

8、已知函数f(x)=-x2+ax+1-lnx.

学科能力提升作业(选做题)：

9、若函数f(x),g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0，则当a

A.f(x)g(x)>f(b)g(b)

B.f(x)g(a)>f(a)g(x)

C.f(x)g(b)>f(b)g(x)

D.f(x)g(x)>f(a)g(a)

10、函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf′(x)-f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围为(A).

A.(-∞,-1)∪(0,1)

B.(-1,0)∪(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(-1,0)

D.(0,1)∪(1,+∞)

(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)证明：当x>1时，f(x)

12、已知函数f(x)=lnx+ln(2-x)+ax.

本组练习与作业优化设计了必做题与选做题，必做题由易到难、结构由简单到复杂、要求由低到高，学生人人都有会做的题，个个都有信心去尝试，给不同层次的学生创造成功的机会.选做题作业设计注意了知识的交叉融合，提高了能力的要求，学生要跨过最近发展区一个个门坎，要“跳一跳，才能摘到果子”，解决这样的问题有助于学生数学学科核心素养的提升.

基于课本优化作业设计，把学生数学学科核心素养的养成渗透到日常教学中，需要教师深入理解数学学科核心素养，遵循学生认知规律，创设合适的问题，设计有效的数学作业活动，展示数学概念、结论、应用的形成发展过程.在新一轮课程改革中，需要每一位教师以创新的精神，积极探索优化作业设计的途径和方式，促进学生数学学科核心素养的发展.