基于lp范数正则化的混合噪声去除模型

范黎杨，张笑钦，严玉芳，刘倩倩

(温州大学数理与电子信息工程学院，浙江温州 325035)

在图像采集和传输的过程中，或多或少的都会引入一些噪声.因此在图像处理过程中，去噪是一个基本问题，用于从带噪声的观测数据中恢复原始图像，并尽可能地保留图像的边缘、纹理等信息和整体规模.在图像去噪中，主要有两种常见的噪声，分别为加性高斯白噪声和脉冲噪声.加性高斯白噪声主要由电子相机传感器和电路的热运动产生①Li R, Zhang Y J.A hybrid filter for the cancellation of mixed Gaussian noise and impulse noise [C]// ICICS, IEEE,Singapore, 2003: 508-512.；脉冲噪声在相机传感器的故障像素、硬件有错误的内存位置或传输过程中的比特误差处产生[1].

目前有很多去除加性高斯白噪声的模型和方法，如三维块匹配算法（BM3D）[2]，线性子空间分割算法（LSSC）②Mairal J, Bach F, Ponce J, et al.Non-local sparse models for image restoration [C]// ICCV, IEEE, Japan, 2009:2272-2279.，加权核范数最小化模型（WNNM）③Gu S, Zhang L, Zuo W, et al.Weighted nuclear norm minimization with application to image denoising [C]//CVPR, IEEE, America, 2014: 2862-2869.等.这些方法对于单像素的异常值非常敏感，因此在去除脉冲噪声时效果较差.而在实际应用中，我们遇到的常常是由加性高斯白噪声和脉冲噪声引起的混合噪声，由于这两种噪声不同的特性，所以混合噪声的分布通常不具有参数化模型，且其边际分布相比于拉普拉斯分布有明显的空白，使得去除混合噪声变得十分困难.在过去十几年里，研究者们提出了一些去除混合噪声的方法.如Abreu等人[3]提出基于中值信号依赖秩序列平均滤波，既可以用于去除脉冲噪声也可用于去除混合噪声.Lin等人[4]参考中位数判断当前像素是否是噪声像素，提出基于检测和变换的双边滤波改进方法，通过变换去除加性高斯白噪声和去除脉冲噪声来去除混合噪声.Schulte等人[5]提出模糊脉冲噪声检测和减少方法（FIDRM滤波），包含脉冲噪声检测和噪声去除两步.该方法可以有效的去除椒盐脉冲噪声，但由于随机脉冲噪声不会产生较大的梯度值，在去除时性能不是很好.Cai等人[6]提出了一种改进的两相法用于恢复被混合噪声破坏的图像，并证明了该方法的有效性[7].Xiao等人[8]提出l1-l0最小化方法，该方法虽然去噪效果非常好，但其计算复杂度相当高.Rodríguez等人①Rodríguez P, Rojas R, Wohlberg B.Mixed Gaussian-impulse noise image restoration via total variation [C]// ICASSP,IEEE, Japan, 2012: 1077-1080.给出一个包含全变分正则化项和分别约束脉冲噪声和加性高斯白噪声的l2，l1范数数据保真项的模型，该模型去除混合噪声的结果非常好，但需要更好的计算性能.Huang等人[9]提出一种基于全变分（Total Variation）先验的去噪模型以除去脉冲噪声和高斯噪声.Li等人[10]通过最小化一个包括依赖数据保真项和类似于l1范数的几何框架系数正则化项的函数，处理被混合噪声污染的图像.尽管上述混合噪声去噪模型和方法取得了一定的效果，但仍存在着一些不足，主要表现在：首先，现存的大多数混合噪声去除方法都基于脉冲噪声检测和加性高斯白噪声移除，分阶段的去除混合噪声；其次，在测量噪声的存在下，这些算法的凸松弛恢复性能大大降低，容易导致模型偏离原始最小化模型.

本文提出了一种基于lp范数正则化的混合噪声去除模型（A Hybrid Noise Removal Model Based onlpNorm Regularization，即HNRM）.首先构造一个基于lp范数正则化的低秩-稀疏模型框架，同时引入权重来对加性高斯白噪声和脉冲噪声进行不同的约束处理，然后利用交替方向乘子法（ADMM 算法）[11]求解该优化模型，并将其应用于观测图像的混合噪声去除中，检测去除加性高斯白噪声和脉冲噪声的效果，取得了原始图像更好的近似.

1 基于lp范数的低秩-稀疏模型

1.1 低秩-稀疏模型的提出

其中xi,j表示矩阵X的第i行第j列的元素；表示矩阵X的第i个奇异值；表示对应于每一个iσ的权重，（1）式中，当p=0时表示秩函数，即当p=1时表示l1范数，即式中，当p=1时表示加权核范数，即所以，矩阵X的lpp范数和加权Schatten-p范数的p次方可以分别表示为：

其中W是对角线元素为ωi的对角阵；Δ是对角线元素为iσ的对角阵.

当ω,p同时为1，p1为0时，即为l1-l0范数混合噪声去除模型.

1.2 模型的求解过程

运用ADMM算法[11]求解基于lp范数正则化的低秩-稀疏模型（5），其算法基本迭代步骤为：

要解决（7）式，首先考虑一个与之相似的标量问题：

当0＜p＜1时，引入两个阈值参数：

则（8）式存在一个非平凡解：

假设矩阵M的奇异值分解为其中表示由矩阵M的奇异值构成的对角阵，U,V分别表示两个正交矩阵.假定所有的奇异值都按降序排列，则（11）式存在最优解表示由矩阵X的奇异值构成的对角阵，每一个iδ可由下式[13]解得：

类似于lp范数最小化模型，对于给定的参数p,ωi，存在一个特定的阈值：

由上述迭代过程，可以得出该方法的算法过程，如下所示：

算法1：HNRM算法.

输入：观测矩阵Y，参数p,p1；

循环迭代：当目标函数达到收敛条件时，结束迭代.

第一步：计算权重参数ω、阈值参数

第二步：由（10）式（15）式，计算矩阵X奇异值的最优解δ*和E的最优解e*；

2 算法模型的应用

图像去噪既是许多计算机视觉应用的预处理步骤，也是众多评估图像模型的一个测试床.为验证本文提出模型的有效性，将其应用到图像去噪中，从带有混合噪声的观测图像中恢复原始图像.本文的去噪过程基于图像块的非局部自相似性和自然图像的低秩稀疏性先验知识，以保证混合噪声去除性能.非局部自相似性是指对于一个自然图像可以用非局部相似块来恢复选定的块.非局部自相似性在很多图像去噪算法，如 BM3D[2]，LSSC，WNNM，WSNM[13]中的得到运用并取得了良好的去噪效果.类似的，我们将本文提出的模型应用于由自然图像的非局部相似块构成的矩阵上来实现混合噪声去除.

2.1 混合噪声

本文用X表示原始图像，xi,j表示原始图像X在(i,j)处的像素值；Y表示原始图像X带有混合噪声的观测图像，yi,j∈Y.对于带有混合噪声的图像，Y的每一个噪声像素值可以表示为是独立同分布，且服从均值为0，方差为σ2的高斯分布的噪声，ei,j∈E表示离散型的脉冲噪声.脉冲噪声主要有椒盐脉冲噪声和随机脉冲噪声两种.本文主要考虑的是由加性高斯白噪声和随机脉冲噪声形成的混合噪声.

2.2 基于lp范数正则化的混合噪声去除模型的应用

对于给定图像y的一个局部块yi，首先运用自适应中值滤波，过滤掉一些脉冲噪声，在没有脉冲噪声的影响下，运用块匹配方法（Block Matching Method）获得yi的非局部相似块然后将其向量化并堆叠形成矩阵Yi，即矩阵Yi的每一列由构成，则带有混合噪声的图像可以表示为矩阵形式：其中Xi表示原始图像的矩阵块，表示混合噪声的矩阵块.假定观测图像y是低秩-稀疏的，我们可以运用本文提出的基于lp范数的低秩-稀疏模型，从矩阵Yi中估计得出原始矩阵Xi，相应的基于lp范数正则化的混合噪声去除模型为：

其中n表示Yi中相似块的个数.ε表示一个非常小的常数，以避免被除数等于由于矩阵未知，无法直接得出所以可以用下式预估

为避免恢复后的图像被重复去噪，将迭代正则化算式（19）引入算法中，在去噪后的图像上增加过滤的残差，以便获得更清晰的去噪图像.

其中k表示迭代次数，α表示放缩参数.

3 实验结果及分析

进行实验来验证本文提出的HNRM方法，并与几种比较先进的去噪算法（TV算法[9]，IFASDA算法[10]，Cai[6]和Xiao[8]等人提出的算法）进行比较.所有去噪结果由源代码或原作者提供的可执行文件生成，保留原始文件中的参数设置.

3.1 参数设置

根据经验值选取不同噪声水平的噪声方差σn、块大小patch size、迭代次数k的对应关系，如表1所示.

表1 几种参数的对应关系Table 1 Corresponding Relationship with Several Parameters

参数p,p1分别取{0.1,0.3,0.5,0.7,0.9,1.0}做测试，设置算法收敛的停止准则为

3.2 实验结果及分析

对于一些广泛使用的测试图像，用 HNRM 方法和几种较先进的混合图像去噪方法进行实验对比.在实验中，添加均值为 0、标准差为σ的加性高斯白噪声和噪声水平变化率为γ的随机脉冲噪声到测试图像以生成混合噪声观测图像.取标准差σ=10的高斯噪声和噪声水平变化率γ分别为10%、20%和30%的随机脉冲噪声.在2个测试图像Boat、Barbara上进行多次试验，并与TV[9]算法、IFASDA[10]算法做对比，三种方法在测试图像上去噪效果的峰值信噪比（PSNR）结果见表2.

表2 HNRM、TV、IFASDA三种方法的PSNR结果对比Table 2 Comparison of PSNR Results with HNRM, TV and IFASDA Methods

由表2可以看出，与目前比较先进的TV算法、IFASDA算法相比，我们提出的HNRM方法在去除混合噪声时PSNR更高，去噪效果更好，特别是对于Barbara测试图像，我们的算法比效果较好的IFASDA[10]算法的PSNR结果高达将近3.71 dB.

由于篇幅限制，我们仅显示本文提出的HNRM算法、Cai[6]和Xiao[8]等人提出的算法对测试图像Barbara在9个噪音水平的去噪结果进行比较，其中高斯噪声标准差σn分别为5、10和15，随机脉冲噪声水平变化率γ分别为 10%、20%和 30%.三种去噪方法的峰值信噪比（PSNR）结果见表3.

由表3可以看出，我们提出的HNRM方法相对于 Cai[6]、 Xiao[8]等人提出的算法，在去除混合噪声时PSNR高出很多，去噪效果更好.

在广泛使用的4张测试图像Barbara、Lena、Boat、Hill上评估HNRM方法，与TV[9]算法、IFASDA[10]算法作比较，去噪后的图像结果如图1所示，括号内为不同去噪方法的峰值信噪比.取高斯噪声方差第一、二组图随机脉冲噪声水平变化率取γ=30%，第三、四组图取

由图1可以看出，我们提出的算法在去除混合噪声时，峰值信噪比更高，最多超过IFSADA[10]算法2.13 dB，去噪后的图像更清晰，去噪效果相对较好.

表3 Cai、Xiao、 HNRM三种方法的PSNR结果对比Table 3 Comparison of PSNR Results of Cai,Xiao and HNRM Methods

图1 4张测试图像Barbara、Lena、Boat、Hill上的混合噪声去噪效果对比图Fig 1 Comparison Diagram of De-noise Effect with Mixed Noise for Four Test Figure: Barbara, Lena, Boat and Hill

4 小 结

本文提出一种新的基于lp范数正则化的混合噪声去除模型，首先构造一个基于lp范数正则化的低秩-稀疏模型，并在该模型中引入权重，以便同时对加性高斯白噪声和脉冲噪声进行不同的处理，然后运用ADMM算法求解该模型，最后利用图像信息的低秩稀疏性和非局部相似性，将模型推广应用于观测图像的混合噪声去除中，以达到同时去除混合噪声的目的.多次实验结果显示该算法模型的去噪效果明显好于其他几种较先进的混合噪声去除方法，且本文提出的 HNRM方法鲁棒性更强，应用前景广泛.